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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 So 16.09.2007 | | Autor: | fuchsone |
| Aufgabe | Sei [mm] A\in \IR^nxn [/mm] eine Matrix mit Rang n. Man berechne die Determinante von
C=A [mm] *(A^T)^-1 [/mm] und begründe, wieso jeder der Rechenschritte gemacht werden darf. |
Ich weis ja das A
A= [mm] \pmat{ a11 & ... & a1n \\ ... & ... \\ an1 & ... & ann }
[/mm]
ist und
[mm] A^T= \pmat{ a11 & ... & an1 \\ ... & ... \\ a1n & ... & ann } [/mm] ist.
außerdem müsste
detC=detA * [mm] det(A^T)^-1 [/mm] sein.
detC=( [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (-1)^î+j * aij * det(Aij) ) * det [mm] (A^T)^-1
[/mm]
wie kann ich nun [mm] det(A^T)^-1 [/mm] schreiben?
danke im Vorraus für jede Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 So 16.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> wie kann ich nun [mm]det(A^T)^{-1}[/mm] schreiben?
Meinst du damit
a) die Determinante von [mm](A^T)^{-1}[/mm]
oder
b) [mm](\det(A^T))^{-1} = \bruch{1}{\det(A^T)}[/mm]?
Welcher Zusammenhang besteht zwischen [mm]\det(A)[/mm] und [mm]\det(A^T)[/mm]? (Bedenke, dass du eine Determinante sowohl nach Zeilen als auch nach Spalten entwickeln kannst.)
Ich hoffe, das hilft dir weiter.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 So 16.09.2007 | | Autor: | fuchsone |
der zusammenhang von detA und [mm] detA^T [/mm] ist
[mm] detA=detA^T [/mm] denk ich mal
ich suche die Determinante von [mm] (A^T)^{-1} [/mm] (also a.) )
oder eine Formel wie ich sie berechen kann
mein problem ist dass ich nicht weis wie die Inverse von [mm] A^T [/mm] aussieht
deiser artikel hat einen falschen status bitte um antwort!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 So 16.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Bedenke, dass für jede [mm]n\times n[/mm]-Matrix B vom Rang n gilt:
[mm] B\cdot B^{-1} = 1_{n\times n} [/mm]
Jetzt wende den Determinantenmultiplikationssatz auf [mm]B=A^T[/mm] an!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 So 16.09.2007 | | Autor: | fuchsone |
Determinantenmultiplikationssatz:
det(AB)=det(A)*det(B)
soll jetzt wenn A * [mm] A^{-1} [/mm] = I (Einheitsmatrix)
gilt, auch
[mm] A^{T} [/mm] * [mm] (A^{T} )^{-1} [/mm] = I gelten?
dann wäre ja [mm] det(I)=det(A^{T}) [/mm] * [mm] det((A^{T} )^{-1})
[/mm]
dass kann ja irgendwie nicht sein?! oder doch?
dann wäre det (I) =1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 So 16.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Determinantenmultiplikationssatz:
>
> det(AB)=det(A)*det(B)
>
> soll jetzt wenn A * [mm]A^{-1}[/mm] = I (Einheitsmatrix)
> gilt, auch
> [mm]A^{T}[/mm] * [mm](A^{T} )^{-1}[/mm] = I gelten?
>
> dann wäre ja [mm]det(I)=det(A^{T})[/mm] * [mm]det((A^{T} )^{-1})[/mm]
>
> dass kann ja irgendwie nicht sein?! oder doch?
>
> dann wäre det (I) =1
Aber das ist doch immer so: Die Determinante der Einheitsmatrix ist 1.
Die entscheidende Folgerung ist:
[mm]\det(A^{-1}) = (\det(A))^{-1}[/mm]
und wegen [mm]\det(A)=\det(A^T)[/mm] folgt:
[mm]\det(C) = \det(A\cdot (A^T)^{-1}) = \det(A) * \det((A^T)^{-1}) = \det(A) * (\det(A^T))^{-1} = \det(A) * (\det(A))^{-1} = 1[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 So 16.09.2007 | | Autor: | fuchsone |
achso genau jetzt hab ichs
vielen dank für deine hilfe ^^
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Hallo!
Diese Folgerung hab ich nicht ganz verstanden:
> Die entscheidende Folgerung ist:
>
> [mm]\det(A^{-1}) = (\det(A))^{-1}[/mm]
Gruß Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 So 16.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Rainer!
> Diese Folgerung hab ich nicht ganz verstanden:
>
> > Die entscheidende Folgerung ist:
> >
> > [mm]\det(A^{-1}) = (\det(A))^{-1}[/mm]
Da die Matrix A den Rang n hat, hat sie eine Inverse, also
[mm]A\cdot A^{-1} = 1_{n\times n}[/mm]
Die Einheitsmatrix hat Determinante 1, und aus dem Determinantenmultiplikationssatz folgt
[mm]\det(A)\cdot \det(A^{-1}) = 1[/mm].
Löse die Gleichung nach [mm]\det(A^{-1})[/mm] auf!
Viele Grüße
Rainer
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Jo!
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
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