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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 So 23.03.2008 | | Autor: | MrFair |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Determinante der reellen (n,n)-Matrix A = [mm] ((a_{ij})) [/mm] in Abhängigkeit von n [mm] \in \IN [/mm] mit
[mm] a_{ij} [/mm] = 1 - [mm] \delta_{ij} [/mm] für i,j [mm] \in [/mm] {1, ..., n }
Anmerkung:
[mm] \delta_{ij} [/mm] = 1, wenn i = j, sonst [mm] \delta_{ij} [/mm] = 0 (Kroneckersymbol) |
/Edit: Diese Frage wurde beantwortet! Wäre nett, wenn ein Moderator sie entsprechend markieren könnte. Ich habe leider ausversehen weiter unten eine weitere Frage gepostet, wodurch diese hier nicht als beantwortert makiert wird.
Hallo!
Ich sitze grade vor dieser Aufgabe und komme nicht weiter. Wie man Determinanten berechnet, ist mir klar, daran scheitert es nicht. Vielmehr macht mir die Matrix Probleme. Nach der Bedingung sieht die Matrix A ja wie folgt aus: [mm]
A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & \cdots & \cdots & \cdots & 1 \\
1 & 0 & 1 & \cdots & \cdots & 1 \\
\vdots & 1 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \cdots & \cdots & 1 & 0 & 1 \\
1 & \cdots & \cdots & \cdots & 1 & 0
\end{pmatrix} [/mm]
Also quasi auf der Hauptdiagonalen nur Nullen, sonst überall Einsen. Soweit, sogut.
Normalerweise würde ich jetzt vollständige Induktion probieren und ich bin auch schon auf die Behauptung
[mm]det(A) = (-1)^{(n-1)}*(n-1)[/mm]
gekommen.
Leider klappt die Induktion nicht allzu gut, da man hier mit der Determinante ja Pech hat, denn die letzte Spalte und die letzte Zeile bestehen immer komplett aus Einsen. Somit wüsste ich überhaupt nicht, wie ich es hier angehen sollte. Bei bisherigen Aufgaben dieser Art hatten wir immer Matrizen, bei denen man bei einmaligem Streichen immer schön Nullzeilen rausbekommen hat und somit die Induktion recht einfach war.
Da die Induktion wohl nicht richtig funktioniert, wollte ich nachsehen, ob sich die Matrix irgendwie geschickt zu einer Dreiecksmatrix umformen lässt. Mit ziemlich viel rumwerkeln ist das bei konkretem n auch möglich, aber bei der allgemeinen Matrix bekomme ich das nicht hin.
Leider sind das die einzigen Ansätze, die mir hier einfallen und ich bekomme beide nicht gelöst. Wäre wirklich nett, wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 So 23.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen sie die Determinante der reellen (n,n)-Matrix A =
> [mm]((a_{ij}))[/mm] in Abhängigkeit von n [mm]\in \IN[/mm] mit
> [mm]a_{ij}[/mm] = 1 - [mm]\delta_{ij}[/mm] für i,j [mm]\in[/mm] {1, ..., n }
>
> Anmerkung:
> [mm]\delta_{ij}[/mm] = 1, wenn i = j, sonst [mm]\delta_{ij}[/mm] = 0
> (Kroneckersymbol)
> Hallo!
> Ich sitze grade vor dieser Aufgabe und komme nicht weiter.
> Wie man Determinanten berechnet, ist mir klar, daran
> scheitert es nicht. Vielmehr macht mir die Matrix Probleme.
> Nach der Bedingung sieht die Matrix A ja wie folgt aus: [mm]
A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & \cdots & \cdots & \cdots & 1 \\
1 & 0 & 1 & \cdots & \cdots & 1 \\
\vdots & 1 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \cdots & \cdots & 1 & 0 & 1 \\
1 & \cdots & \cdots & \cdots & 1 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Also quasi auf der Hauptdiagonalen nur Nullen, sonst
> überall Einsen. Soweit, sogut.
> Normalerweise würde ich jetzt vollständige Induktion
> probieren und ich bin auch schon auf die Behauptung
> [mm]det(A) = (-1)^{(n-1)}*(n-1)[/mm]
> gekommen.
>
> Leider klappt die Induktion nicht allzu gut, da man hier
> mit der Determinante ja Pech hat, denn die letzte Spalte
> und die letzte Zeile bestehen immer komplett aus Einsen.
> Somit wüsste ich überhaupt nicht, wie ich es hier angehen
> sollte. Bei bisherigen Aufgaben dieser Art hatten wir immer
> Matrizen, bei denen man bei einmaligem Streichen immer
> schön Nullzeilen rausbekommen hat und somit die Induktion
> recht einfach war.
Hallo,
lang ist es her, ich komme jetzt nicht auf den Namen der Regel. Aber kann man nicht eine Deterninante berechnen, wenn man der Reihe nach die Elemente einer Zeile mit den Unterdeterminanten vom Grad n-1 multipliziert? (Diese Unterdeterminanten entstehen, wenn man die Zeile und Spalte des jeweiligen Elements streicht.)
Gruß Abakus
>
> Da die Induktion wohl nicht richtig funktioniert, wollte
> ich nachsehen, ob sich die Matrix irgendwie geschickt zu
> einer Dreiecksmatrix umformen lässt. Mit ziemlich viel
> rumwerkeln ist das bei konkretem n auch möglich, aber bei
> der allgemeinen Matrix bekomme ich das nicht hin.
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> Leider sind das die einzigen Ansätze, die mir hier
> einfallen und ich bekomme beide nicht gelöst. Wäre wirklich
> nett, wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte.
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Ich glaube du meinst den Entwicklungssatz.
Und den hast du richtig zitiert 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 So 23.03.2008 | | Autor: | MrFair |
Ja, da hast du natürlich recht. Soweit ich dich richtig verstehe, beschreibst du das allgemeine Verfahren zum Berechnen einer Determinante. So würde ich es normalerweise auch bei vollständiger Induktion anwenden. Hier dreht man sich aber im Kreis, da man beim 1. Streichen wieder (n-1)-Determinanten erhält, die man berechnen muss und um diese zu berechenen müssen wieder ((n-1)-1) Determinanten berechnet werden usw., da ja in jeder Spalte wieder eine 1 steht. Somit dreht man sich im Kreis. Das ist ja mein Problem.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:19 So 23.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Ja, da hast du natürlich recht. Soweit ich dich richtig
> verstehe, beschreibst du das allgemeine Verfahren zum
> Berechnen einer Determinante. So würde ich es normalerweise
> auch bei vollständiger Induktion anwenden. Hier dreht man
> sich aber im Kreis, da man beim 1. Streichen wieder
> (n-1)-Determinanten erhält, die man berechnen muss und um
> diese zu berechenen müssen wieder ((n-1)-1) Determinanten
> berechnet werden usw., da ja in jeder Spalte wieder eine 1
> steht. Somit dreht man sich im Kreis. Das ist ja mein
> Problem.
Berechne doch mal diese Determinanten für n=1 bis 3 (und nach dem Entwicklungssatz auch noch für n=4).
Vielleicht hilft dir das weiter.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 So 23.03.2008 | | Autor: | MrFair |
Ja, dass habe ich schon gemacht. So bin ich dann auch auf die Behauptung
[mm]det(A_{n}) = (-1)^{n-1}*(n-1)[/mm] gekommen. Mein Problem liegt ja darin, den Beweis durchzuführen. Bei der Induktion scheitere ich wie gesagt hauptsächlich an den ganzen Einsen in den Spalten und der daraus resultierenden neu zu berechnenden Determinanten. Bei ein paar kann man dann durch die Induktionsvorraussetzungen eine Umformung vornehmen, bei den meisten geht aber grade das nicht.
/Edit: Oh, Entschuldigung. Das sollte keine Frage, sondern nur eine Mitteilung werden. Kann man das noch nachträglich irgendwie ändern?
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Ich habe eine andere Idee gehabt, wie man die Formel zeigen könnte:
Ich zeige es mal exemplarisch an einer 5*5-Matrix, du kannst das dann sicher allgemein übertragen
Beginne mit
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0}
[/mm]
Addiere die letzte Zeile mal (-1) auf alle anderen Zeilen. (Die Determinante verändert sich dadurch nicht)
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0}
[/mm]
Nun muss man nur noch jede Zeile ( also (n-1) Zeilen ) auf die letzte addieren:
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4}
[/mm]
Nun kann man ganz einfach die Determinante berechnen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 So 23.03.2008 | | Autor: | MrFair |
Ah, vielen Dank. So gehts!
Ich hatte wie gesagt auch schon nach einer Möglichkeit gesucht, auf eine Dreiecksmatrix zu kommen, bin das ganze aber wohl zu kompliziert angegangen.
Vielen Dank! :)
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