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| Aufgabe | | Sei eine ungerade, natürliche Zahl n vorgegeben. Finde einen Unteraum [mm] U\not=\{0\} [/mm] von [mm] M(nxn;\IR) [/mm] mit der Eigenschaft, dass die Determinante eingeschränkt auf U injektiv ist. |
Hey Leute,
kann mir jemand bei der Aufgabe helfen. Da stehe ich irgendwie auf dem Schlauch. Hab ein paar Unterräume ausprobiert, aber irgendwie kriege ich die Injektivität nicht hin oder ich hab was falsch gemacht. Kann mir jemand helfen?
Grüße, Daniel
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Guten Morgen, also der einfachste Unterraum der nxn Matrizen wäre sicherlich der
[mm] $U:=\{A\in M^{nxn} | \begin{cases} a_{ij}=\lambda \in \IR &\mbox{für} i=j \\ a_{ij}=0 \ \mbox{sonst} \end{cases}\}$, [/mm] also alle Diagonalmatrizen. Hier ist die Determinatenabbildung injektiv(Warum, Stichwort Format!!) und das ist ein Unterraum(Nachweis)
Einen schönen Tag
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Hallo blascowitz,
danke für die Hilfe. Eine Frage habe ich da noch zur Injektivität. Man berechnet die Determinante einer Diagonmatrix ja einfach als Produkt der Einträge in der Diagonale. Kann ich rechnerisch irgendwie begründen, dass das injektiv ist. Also wie folgt aus
A,A' Diagonalmatrizen (nxn)
[mm] det(A)=det(A')\Rightarrow a_{1}*...*a_{n}=b_{1}*...*b_{n}
[/mm]
dass A=A'? Mit dem Unterraumkriterium habe ich schon gezeigt, dass U Unterraum ist! Aber wie geht das hier?
Grüße Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 So 20.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
> danke für die Hilfe. Eine Frage habe ich da noch zur
> Injektivität. Man berechnet die Determinante einer
> Diagonmatrix ja einfach als Produkt der Einträge in der
> Diagonale. Kann ich rechnerisch irgendwie begründen, dass
> das injektiv ist. Also wie folgt aus
>
> A,A' Diagonalmatrizen (nxn)
> [mm]det(A)=det(A')\Rightarrow a_{1}*...*a_{n}=b_{1}*...*b_{n}[/mm]
>
> dass A=A'?
Nein, das geht nicht. Du musst das schon etwas einschraenken, etwa dass alle Diagonaleintraege gleich sind.
In dem Fall wird [mm] $\lambda \cdot E_n$ [/mm] (hier ist [mm] $E_n$ [/mm] die Einheitsmatrix) auf [mm] $\lambda^n$ [/mm] abgebildet, allerdings ist das immer noch nicht injektiv: etwa fuer gerades $n$ wird [mm] $\lambda [/mm] = -1$ und [mm] $\lambda [/mm] = 1$ auf das gleiche abgebildet!
Aaallerdings hast du hier, dass $n$ nicht gerade ist! :)
LG Felix
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