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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Aquilera |
| Aufgabe | Sei [mm] A=(a_{ij}) [/mm] Sei [mm] a_{ij} [/mm] =i+j für alle [mm] 1\le [/mm] i,j [mm] \le [/mm] n.
Berechnen sie Det(A). Wann ist A invertierbar? |
Ich habe dazu folgende lösung, die mir aber zu einfach erscheint
Matrix A hat folgende Gestalt
[mm] \pmat{ i+j & i+j+1 & i+j+2 & i+j+3 & ... & i+j+n-1 \\ i+j+1 & i+j+2 & i+j+3 & i+j+4 & ... & i+j+n \\ i+j+2 & i+j+3 & i+j+4 & i+j+5 & ... & i+j+n+1 \\ .............. \\ i+j+n-1 & i+j+n & i+j+n+1 & i+j+n+2 & ... & i+j+2n-2}
[/mm]
Nach ein paar Umformungen z.b. subtrahiere ich die 1.zeile von allen nachfolgenden Zeilen und erhalte dann die Matrix
[mm] \pmat{ i+j & i+j+1 & i+j+2 & i+j+3 & ... & i+j+n-1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & ... & 2 \\ .............. \\ n-1 & n-1 & n-1 & n-1 & ... & n-1}
[/mm]
Nun noch ein paar Umformungen und meine Matrix hat außer den ersten beiden Zeilen nur noch 0 einträge.
Somit lautet det(A) = 0 und A ist nie invertierbar.
Richtig?!!!???
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Hallo Aquilera,
> Sei [mm]A=(a_{ij})[/mm] Sei [mm]a_{ij}[/mm] =i+j für alle [mm]1\le[/mm] i,j [mm]\le[/mm] n.
> Berechnen sie Det(A). Wann ist A invertierbar?
> Ich habe dazu folgende lösung, die mir aber zu einfach
> erscheint
>
> Matrix A hat folgende Gestalt
>
> [mm]\pmat{ i+j & i+j+1 & i+j+2 & i+j+3 & ... & i+j+n-1 \\ i+j+1 & i+j+2 & i+j+3 & i+j+4 & ... & i+j+n \\ i+j+2 & i+j+3 & i+j+4 & i+j+5 & ... & i+j+n+1 \\ .............. \\ i+j+n-1 & i+j+n & i+j+n+1 & i+j+n+2 & ... & i+j+2n-2}[/mm]
>
> Nach ein paar Umformungen z.b. subtrahiere ich die 1.zeile
> von allen nachfolgenden Zeilen und erhalte dann die Matrix
>
> [mm]\pmat{ i+j & i+j+1 & i+j+2 & i+j+3 & ... & i+j+n-1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & ... & 2 \\ .............. \\ n-1 & n-1 & n-1 & n-1 & ... & n-1}[/mm]
Das i+j in der ersten Zeile ist doch als Zahlenwert angebbar.
>
> Nun noch ein paar Umformungen und meine Matrix hat außer
> den ersten beiden Zeilen nur noch 0 einträge.
>
> Somit lautet det(A) = 0 und A ist nie invertierbar.
>
> Richtig?!!!???
Es gibt ein n für das die obige Matrix invertierbar ist.
Schau Dir dazu die 2. und die n. te Zeile nach der Umformung an.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Aquilera |
Ja, ok, ich geb zu, ich habs komplizierter gemacht als es ist, ich könnte statt i+j auch einfach 2 schreiben :). ich füge dem Beweis ein i=j=1 hinzu ;)
Mit dem invertierbar hast du recht.
Für n=1 und n=2 ist die matrix invertierbar, ab n=3 nicht mehr.
Richtig?
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Hallo Aquilera,
> Ja, ok, ich geb zu, ich habs komplizierter gemacht als es
> ist, ich könnte statt i+j auch einfach 2 schreiben :). ich
> füge dem Beweis ein i=j=1 hinzu ;)
>
> Mit dem invertierbar hast du recht.
> Für n=1 und n=2 ist die matrix invertierbar, ab n=3 nicht
> mehr.
>
> Richtig?
Ja, so isses. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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