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| Aufgabe | Seien [mm] \vec v_i\in\IR^3, i=1,2,3 [/mm] drei nicht koplanare Vektoren und [mm]V[/mm] die durch diese Spaltenvektoren aufgespannte Matrix. Zeigen Sie ohne Verwendung der Produktregel, dass [mm] \det(V)\not=0 [/mm] in folgenden Schritten:
a) Zeige, dass es [mm] \lambda_i\in\IR, i=1,2,3 [/mm] gibt mit [mm] \left(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\right)\not=\left(0,0,0\right) [/mm] gibt, so dass [mm] \sum_{i=1}^{3}\lambda_i\vec v_i=\vec e_1 [/mm].
b) Nehmen wir an, dass [mm] \lambda_j\not=0 [/mm] für [mm] j\in{1,2,3} [/mm]. Sei [mm] V' [/mm] die Matrix die durch [mm]\vec e_1, \vec v_i, \vec v_k [/mm] als Spaltenvektoren aufgespannt ist, wobei [mm] \left{i,j,k\right}=\left{1,2,3\right} [/mm]. Man schließe aus a), dass es eine Konstante [mm] c\not=0[/mm] gibt, so dass [mm] det \left(V') = c*det \left(V) [/mm].
c) Man beweise, dass [mm] det \left(V')\not=0 [/mm], unter Verwendung der Tatsache, dass die [mm] \vec v_i [/mm] nicht koplanar sind.
d) Schließe, dass [mm]det\left(V)\not=0 [/mm]. |
Hallo liebe Mathefans,
ich habe hier eine Aufgabe, die meine Kommilitonen und ich nicht lösen können. Für eure Anregungen und Lösungen wäre ich sehr dankbar.
Liebe Grüße
Mathestudent
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Hallo!
Du hast drei Vektoren gegebenen, die nicht komplanar sind. Was heißt das: Sie sind linear unabhängig.
Was wirst du in dieser Aufgabe zeigen: Eine Matrix, die aus drei linear unabhängigen Zeilen/Spalten zusammengesetzt ist, also Vollrang hat, hat eine Determinante [mm] \not= [/mm] 0.
Drei linear unabhängige Vektoren [mm] $v_{1},v_{2},v_{3}\in\IR^{3}$ [/mm] sind gleichzeitig Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] und es gilt dann
[mm] $\IR^{3} [/mm] = [mm] \{\lambda_{1}*v_{1}+ \lambda_{2}*v_{2} + \lambda_{3}*v_{3}\Bigg| \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}\in\IR\}$
[/mm]
Logischerweise kann dann auch der Einheitsvektor [mm] e_{1} [/mm] erzeugt werden. Natürlich gilt dann auch die geforderte Bedingung, dass nicht alle Lambdas gleichzeitig 0 sind, weil für diese Wahl würden die drei Vektoren den Nullvektor erzeugen...
Ich übersetze mal b) für euch vielleicht kommt ihr dann auch so weiter:
Im Folgenden ist garantiert, dass bei eurer Linearkombination der Vektoren [mm] v_{1},v_{2},v_{3} [/mm] garantiert jeder Vektor auch wirklich vertreten ist [mm] (\lambda_{j}\not= [/mm] 0). Das ist sehr wichtig für die Aufgabe, warum, sage ich euch gleich.
Du hast es jetzt also garantiert mit sowas zu tun:
[mm] 1*v_{1} [/mm] + [mm] 2*v_{2}-3*v_{3} [/mm] = [mm] e_{1}
[/mm]
und nicht mit sowas:
[mm] 1*v_{1} -3*v_{3} [/mm] = [mm] e_{1}
[/mm]
(Dass praktisch [mm] \lambda_{2}\not= [/mm] 0)
Nun sollt ihr zeigen, dass [mm] e_{1} [/mm] zusammen mit zwei beliebigen anderen Vektoren aus eurem Pool [mm] (v_{1},v_{2},v_{3}) [/mm] eine MatrixNeu erzeugt, deren Determinante sich dann so berechnet:
MatrixNeu = Konstante*MatrixAlt(aus den drei Vektoren [mm] v_{1},v_{2},v_{3})
[/mm]
Wichtig: Nach Aufgabenstellung ist gefordert dass Konstante [mm] \not= [/mm] 0, d.h. die Determinante der neuen Matrix ist auch [mm] \not= [/mm] 0, das ist also die wesentliche Aussage die ihr beweisen sollt!
Warum würde das Murks werden, wenn nicht die Forderung gemacht wird das alle Lambdas 0 sind? --> Achtung, das sind schon Beweishilfen! Nehmen wir mal das Gegenbeispiel, du hättest die drei Einheitsvektoren gegeben:
[mm] \vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{0\\0\\1}
[/mm]
Die sind klar komplanar. Wenn ich allerdings [mm] e_{1} [/mm] aus diesen drei Vektoren als Linearkombination darstellen möchte, so erhalte ich
[mm] 1*\vektor{1\\0\\0} [/mm] + [mm] 0*\vektor{0\\1\\0} [/mm] + [mm] 0*\vektor{0\\0\\1}= e_{1}
[/mm]
D.h. die Voraussetzung für b) ist verletzt. Und nun funktioniert das ganze nicht mehr: Die Matrix, die sich nämlich aus [mm] e_{1}, v_{1}, v_{2} [/mm] von oben zusammensetzt, hat zwei gleiche Spalten und deren Determinante wird 0.
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Andererseits müsste ihr euch nun besonders überlegen, was es bedeutet wenn alle Lambdas [mm] \not= [/mm] 0 sind. Ein eventuelles Stichwort wäre auch Gauß-Algorithmus.
Schreibe bitte bei einer weiteren Frage ein bissel genauer hin, was ihr über Determinanten usw. schon wisst!
Stefan.
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Hallo Stefan,
den Begriff der linearen Unabhängigkeit haben wir noch nicht eingeführt und könnte ggf. Punktabzüge mit sich ziehen. Inwiefern muss ich das im Beweis berücksichtigen?
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo!
Ich denke, du kannst die Komplanarität der drei Vektoren als "Synonym" verwenden. Was habt ihr denn zur Determinante?
Stefan.
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Wir haben die Sarrusregel durchgenommen und die Produktregel.
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Wenn ich mir die Summe [mm]\sum_{i=1}^{3} \lambda_i\vec v_i [/mm] angucke, habe ich nur lauter Unbekannte eines Gleichungssystems. Inwiefern hilft mir da denn die Koplanarität weiter?
Ferner steht in der Aufgabe, dass man zeigen soll, dass es ein [mm] \lambda_i [/mm] gibt welches die obige Summe erfüllt. Soll ich da jetzt nur ein Beispiel sagen? Das wäre ja voll stumpf, wenn das so ist. Helft mir mal bitte... :-(
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Wenn ich mir die Summe [mm]\sum_{i=1}^{3} \lambda_i\vec v_i [/mm] angucke, habe ich nur lauter Unbekannte eines Gleichungssystems. Inwiefern hilft mir da denn die Koplanarität weiter?
Ferner steht in der Aufgabe, dass man zeigen soll, dass es ein [mm] \lambda_i [/mm] gibt welches die obige Summe erfüllt. Soll ich da jetzt nur ein Beispiel sagen? Das wäre ja voll stumpf, wenn das so ist. Helft mir mal bitte... :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:51 Sa 29.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Stefan hat doch gesagt linear unabh. und nicht komplanar ist fuer [mm] R^3 [/mm] dasselbe.
Wenn die 3 Vektoren nicht in einer Ebene liegen, kann man doch jeden beliebigen Vektor des [mm] R^3 [/mm] aus ihnen kombinieren,
du sollst ja nur erklaeren, warum nicht alle Koeffizienten 0 sein koennen wenn man e1 kombiniert.
Das ist so einfach, dass dus deshalb nicht mehr siehst.
Und mit Beispielen kann man nie etwas beweisen. hier soll nichts konkret gerechnet werden.
Gruss leduart
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Naja, Stefan hatte das Ort Synonym in Anführungszeichen geschrieben. Mir war nicht klar, dass ich das 1 zu 1 übertragen kann. Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht  , Danke.
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