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Forum "Determinanten" - Determinante
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Determinante: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:40 Mo 02.05.2005
Autor: VHN

Hallo!

Ich habe hier eine aufgabe, aber leider weiss ich nicht, wie ich dabei vorgehen soll, es zu beweisen.
ich hoffe, ihr koennt mir weiterhelfen. vielen dank!

Aufgabe:
sei A [mm] \in \IR^{n,n}. [/mm]
(a) Ist [mm] A^{t} [/mm] = - A und n ungerade, so folgt det A = 0.
(b) Gebe ein A [mm] \in \IR^{2,2} [/mm] an, fuer das [mm] A^{t} [/mm] = - A und det  A [mm] \not= [/mm] 0.


Wie beweise ich (a)? Ich weiss nicht, wie ich hier anfangen soll. Ich hoffe, ihr koennt mir einen Tipp geben.
Bei der (b) habe ich auch Probleme, da ich ja nicht weiss, wie das prinzip lauft.
darum bitte ich um hilfe. danke!

VHN

        
Bezug
Determinante: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 Mo 02.05.2005
Autor: Marcel

Hallo!

> Hallo!
>  
> Ich habe hier eine aufgabe, aber leider weiss ich nicht,
> wie ich dabei vorgehen soll, es zu beweisen.
>  ich hoffe, ihr koennt mir weiterhelfen. vielen dank!
>  
> Aufgabe:
>  sei A [mm]\in \IR^{n,n}.[/mm]
>  (a) Ist [mm]A^{t}[/mm] = - A und n ungerade,
> so folgt det A = 0.

Naja, es gilt doch:
[mm] $\det(A)=\det(A^t)$, [/mm] und falls [mm] $A^t=-A$ [/mm] folgt damit:
(i)  [mm] $\det(A)=\det(-A)$. [/mm]
Ferner gilt für $A [mm] \in \IR^{n \times n}$: [/mm]
(ii) [mm] $\det(-A)=(-1)^n*\det(A)$ [/mm] (Kannst du das beweisen? Tipp: Linearität der Spalten!) und wegen (i) und (ii) folgt sofort die Behauptung, falls $n$ ungerade!

>  (b) Gebe ein A [mm]\in \IR^{2,2}[/mm] an, fuer das [mm]A^{t}[/mm] = - A und
> det  A [mm]\not=[/mm] 0.

Wie wäre es denn mit [mm]A=\pmat{0 & 1\\ -1 & 0}[/mm]?

Viele Grüße,
Marcel

Bezug
                
Bezug
Determinante: nicht ganz...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:24 Mo 02.05.2005
Autor: Peter_Pein


> Hallo!
>  
> > Hallo!
>  >  
> > Ich habe hier eine aufgabe, aber leider weiss ich nicht,
> > wie ich dabei vorgehen soll, es zu beweisen.
>  >  ich hoffe, ihr koennt mir weiterhelfen. vielen dank!
>  >  
> > Aufgabe:
>  >  sei A [mm]\in \IR^{n,n}.[/mm]
>  >  (a) Ist [mm]A^{t}[/mm] = - A und n
> ungerade,
> > so folgt det A = 0.
>  
> Naja, es gilt doch:
>  [mm]\det(A)=\det(A^t)[/mm],

[mm] $det(A^{t}) [/mm] = [mm] det(A)^{t}$ [/mm]

>  und falls [mm]A^t=-A[/mm] folgt damit:
> (i)  [mm]\det(A)=\det(-A)[/mm].

[mm] $det(A)^{t} [/mm] = det(-A)$

>  Ferner gilt für [mm]A \in \IR^{n \times n}[/mm]:
>  (ii)
> [mm]\det(-A)=(-1)^n*\det(A)[/mm] (Kannst du das beweisen? Tipp:
> Linearität der Spalten!) und wegen (i) und (ii) folgt
> sofort die Behauptung, falls [mm]n[/mm] ungerade!

Ich vermute einfach mal, dass $t [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $t\ge2$ [/mm]

[mm] $det(A)^{t} [/mm] = [mm] -det(A)\,\Rightarrow\,det(A) \in \{-1, 0\}$, [/mm] je nach t.

jetzt müsste man noch zeigen, dass für gerade t und ungerade n [mm] $A^{t}=-A$ [/mm] nicht erfüllbar ist, wenn die Determinante von A -1 ist. [kopfkratz]

>  
> >  (b) Gebe ein A [mm]\in \IR^{2,2}[/mm] an, fuer das [mm]A^{t}[/mm] = - A und

> > det  A [mm]\not=[/mm] 0.
>  
> Wie wäre es denn mit [mm]A=\pmat{0 & 1\\ -1 & 0}[/mm]?
>  
> Viele Grüße,
>  Marcel

.. und Peter


Bezug
                        
Bezug
Determinante: Doch, denn A^t...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:46 Mo 02.05.2005
Autor: Marcel

Hallo Peter!

Ich denke schon, denn ich meine, dass hier (wie in verschiedenen Skripten) mit [mm] $A^t$ [/mm] die Transponierte zur Matrix A gemeint ist! Falls diese Annahme korrekt ist, sollten auch alle meine Schlüsse (auch formal!) stimmen, so, wie ich sie gemacht habe (hoffe ich jedenfalls ;-))!

Viele Grüße,
Marcel

Bezug
                                
Bezug
Determinante: na wenn das so ist
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:44 Di 03.05.2005
Autor: Peter_Pein

Da sieht man mal, wie sehr ich auf gewohnte Schreibweisen fixiert bin [mm] ($A^{\red{T}}$ [/mm] für die Transponierte).
Nee, dann ist es wirklich einfacher, als ich es angedeutet habe.

@VHN: also keine Panik...

Grüße,
Peter

Bezug
                                        
Bezug
Determinante: Schreibweise...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:30 Di 03.05.2005
Autor: Marcel

Hallo Peter!

> Da sieht man mal, wie sehr ich auf gewohnte Schreibweisen
> fixiert bin ([mm]A^{\red{T}}[/mm] für die Transponierte).

Ich kenne und bevorzuge die eigentlich auch :-)! Hin und wieder liest man aber auch z.B.:
[mm] $^t\! [/mm] A$ für die Transponierte. Und was weiß ich, was manch einem da noch für Schreibweisen einfallen [lol], da gibt es einige kreative Ideen, das hier sind jetzt die, an die ich mich erinnere. VHN sollte vielleicht mal dazuschreiben, ob hier mit [mm] $A^t$ [/mm] auch (wie ich vermute) wirklich die Transponierte von $A$ gemeint ist oder doch etwas anderes...

Viele Grüße,
Marcel

Bezug
                
Bezug
Determinante: frage zum beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:01 Di 03.05.2005
Autor: VHN

Hallo, Marcel!

Vielen dank für deine hilfe!
Ich habe alles verstanden.
Und übrigens: Ja, bei uns zumindest heißt [mm] A^{t} [/mm] im Skript die transponierte Matrix. :-)

Dennoch hätte ich da noch eine Verständnisfrage.
Ich verstehe nicht wirklich, wie man auf
det(-A) = [mm] (-1)^{n} [/mm] det (A) kommt.
Ich hätte jetzt nämlich einfach behauptet, dass det(-A) = - det (A) ist. Wie komme ich aber auf das "hoch n"?
Leider kann ich deinen tipp nicht umsetzen und diese aussage mit der linearität der spalten beweisen.
Könntest du mir vllt noch einen Tipp geben? Es würde mich schon interessieren, woher dieses n kommt. :-)

Danke!
VHN

Bezug
                        
Bezug
Determinante: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:41 Di 03.05.2005
Autor: MathePower

Hallo,


>  Ich verstehe nicht wirklich, wie man auf
> det(-A) = [mm](-1)^{n}[/mm] det (A) kommt.
>  Ich hätte jetzt nämlich einfach behauptet, dass det(-A) =
> - det (A) ist. Wie komme ich aber auf das "hoch n"?

bei der Matrix (-A) wird ja jedes Element der Matrix mit -1 multipliziert:

[mm]\left( {\begin{array}{*{20}c} { - a_{11} } & \cdots & { - a_{1n} } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ { - a_{n1} } & \cdots & { - a_{nn} } \\ \end{array}} \right)[/mm]

Dann gilt (Definition der Determinante nach Leibniz):

[mm] \det ( - A)\; = \;\sum\limits_{\sigma _{n} } {\prod\limits_{i = 1}^{n} {\left( { - a_{i\sigma (i)} } \right)} } \; = \;\left( { - 1} \right)^{n} \;\sum\limits_{\sigma _{n} } {\prod\limits_{i = 1}^{n} {a_{i\sigma (i)} } } \; = \;\left( { - 1} \right)^{n} \;\det (A)[/mm]

Gruß
MathePower

Bezug
                        
Bezug
Determinante: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:37 Di 03.05.2005
Autor: Marcel

Hallo VHN!

Natürlich ist das, was Michael geschrieben hat, vollkommen richtig. Nur evtl. sieht das etwas abschreckend aus, wenn man es nicht gewöhnt ist ;-).
Ich versuche es mal, es etwas anders aufzuschreiben, dann wird es vermutlich etwas klarer:
Es gilt (wenn wir für $1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$ mit [m]a^{(i)}=\vektor{a_{1i}\\ .\\.\\.\\a_{ni}}[/m] die i-te Spalte der Matrix $A$ bezeichnen):
[mm]\det(-A)=\det\left(-\left(a^{(1)},\,a^{(2)},\,\ldots,\,a^{(n)}\right)\right) =\det\left(\left(-a^{(1)},\,-a^{(2)},\,\ldots,\,-a^{(n)}\right)\right)[/mm]

[mm] \stackrel{Linearitaet\;in\;der\;1.\;Spalte}{=} -1*\det\left(\left(a^{(1)},\,-a^{(2)},\,\ldots,\,-a^{(n)}\right)\right)[/mm]

[mm]\stackrel{Linearitaet\;in\;der\;2en\;Spalte}{=} -1*(-1)*\det\left(\left(a^{(1)},\,a^{(2)},\,-a^{(3)},\,\ldots,\,-a^{(n)}\right)\right)=(-1)^2*\det\left(\left(a^{(1)},\,a^{(2)},\,-a^{(3)},\,\ldots,\,-a^{(n)}\right)\right)[/mm]

[mm] \stackrel{Linearitaet\;in\;der\;3en\;Spalte}{=} (-1)^3*\det\left(\left(a^{(1)},\,a^{(2)},\,a^{(3)},\,-a^{(4)},\,\ldots,\,-a^{(n)}\right)\right) =\ldots[/mm]

[mm]\stackrel{Linearitaet\;in\;der\;n-ten\;Spalte}{=} (-1)^n*\det\left(\left(a^{(1)},\,a^{(2)},\,a^{(3)},\,\ldots,\,a^{(n)}\right)\right) =(-1)^n*\det(A)[/mm]

Ich hoffe, es sieht nicht so abschreckend aus, wie die Leibnizformel. Ich habe nämlich schon öfters bemerkt, dass viele die Leibnizformel als abschreckend empfinden ;-)!

Viele Grüße,
Marcel

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