Determinante < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Mo 28.03.2011 | | Autor: | Anton22 |
| Aufgabe | Pn der Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner oder
gleich n und F : Pn -> Pn (linear) mit
[mm] F(\summe_{k=0}^{n}akt^k):=\summe_{k=0}^{n}an-kt^k
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von F bzgl. der Basis A = (1, t, t2,...,tn).
b) Bestimmen Sie det F.
c) Begründen Sie ob F injektiv ist oder nicht. |
also meine darstellungsmatrix ist eine Diagonalmatrix mit 1 auf der Hauptdiagonalen.
Die determinante wäre folglich 1 (Hauptdiagonale multiplizieren)
Und für mich ist die lineare abbildung injektiv da die matrix vollen Zeilenrang hat.
Ich bin da aber sehr skeptisch und würde mich sehr freuen wenn ihr mir mit dieser aufgabe helfen könntet.
Danke schonmal im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Mo 28.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Pn der Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner oder
> gleich n und F : Pn -> Pn (linear) mit
>
> [mm]F(\summe_{k=0}^{n}akt^k):=\summe_{k=0}^{n}an-kt^k[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von F bzgl. der
> Basis A = (1, t, t2,...,tn).
> b) Bestimmen Sie det F.
> c) Begründen Sie ob F injektiv ist oder nicht.
> also meine darstellungsmatrix ist eine Diagonalmatrix mit
> 1 auf der Hauptdiagonalen.
Das stimmt nicht !
Ich nehme an, die Abbildungsvorschrift lautet so:
[mm]F(\summe_{k=0}^{n}a_kt^k):=\summe_{k=0}^{n}a_{n-k}t^k[/mm]
Nehmen wir zum Beispiel das Polynom [mm] t^n: [/mm] es ist
[mm] t^n=\summe_{k=0}^{n}a_kt^k, [/mm] wobei [mm] a_0= ...=a_{n-1}= [/mm] 0 und [mm] a_n=1.
[/mm]
Dann ist [mm] F(t^n)=1.
[/mm]
FRED
>
> Die determinante wäre folglich 1 (Hauptdiagonale
> multiplizieren)
>
> Und für mich ist die lineare abbildung injektiv da die
> matrix vollen Zeilenrang hat.
>
> Ich bin da aber sehr skeptisch und würde mich sehr freuen
> wenn ihr mir mit dieser aufgabe helfen könntet.
>
> Danke schonmal im voraus.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mo 28.03.2011 | | Autor: | Anton22 |
Ja die Abbildungsvorschrift die du hingeschrieben hast ist die korrekte.
Kannst du mir jetzt bite helfen diese 3 teilaufgaben zu lösen?
Danke im voraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Mo 28.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja die Abbildungsvorschrift die du hingeschrieben hast ist
> die korrekte.
> Kannst du mir jetzt bite helfen diese 3 teilaufgaben zu
> lösen?
Gezeigt habe ich Dir: $ [mm] F(t^n)=1. [/mm] $ Also sieht die letzte Spalte der gesuchten Matrix so aus:
1
0
0
.
.
.
0
Berechne Du die anderen Spalten .
FRED
>
> Danke im voraus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Mo 28.03.2011 | | Autor: | Anton22 |
Îch verstehe jedoch nicht genau wie du darauf gekommen bist. hmmm
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Hallo Anton,
> Îch verstehe jedoch nicht genau wie du darauf gekommen
> bist. hmmm
Dann solltest du schleunigst nachschlagen, was zu tun ist, um die Darstellungsmatrix einer linearen Abb. bzgl. gegebener Basen zu berechnen.
Hier hast du die Standardbasis [mm]\mathcal{A}=\{1,t,t^2,...,t^n\}[/mm] vorgelegt bekommen.
Einfacher gehts nicht!
Was damit zu tun ist, wird umfänglich in jeder LA-VL erklärt.
Wir können und wollen hier keine VL ersetzen und rechnen auch nicht blind vor.
Zusammen können wir das gerne erarbeiten, aber das bedarf insbesondere deiner Mitarbeit.
Also:
Mache dich also diesbzgl. erstmal schlau!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Di 29.03.2011 | | Autor: | Anton22 |
Also die darstellungsmatrix ist ja durch die bilder der standartbasis festgelegt. daraus folgt ja:
an 0 . . . 0
. [mm] an-1t^1 [/mm] 0
. [mm] an-2t^2 [/mm] 0
. .
0 .0
. . 0
0 . . . 0 . . . [mm] an-nt^n, [/mm]
bin da aber sehr skeptisch...
DIe sätze sind meist sehr schwammig und abstrakt formuliert, wir haben das oft im [mm] R^3 [/mm] gemacht, da war es wesentlich rumrechnen. hieraus wird mir nicht klar was der Zeilenvektor ist und der Spaltenvektor, denke da irgendwie immer an eine dreiecksmatrix wegen dem rang<=n.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Di 29.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also die darstellungsmatrix ist ja durch die bilder der
> standartbasis festgelegt. daraus folgt ja:
>
> an 0 . . . 0
> . [mm]an-1t^1[/mm] 0
> . [mm]an-2t^2[/mm] 0
> . .
> 0 .0
> . . 0
> 0 . . . 0 . . . [mm]an-nt^n,[/mm]
>
> bin da aber sehr skeptisch...
Zu recht, denn das ist Unfug.
>
> DIe sätze sind meist sehr schwammig und abstrakt
> formuliert, wir haben das oft im [mm]R^3[/mm] gemacht, da war es
> wesentlich rumrechnen
Hier auch . machen wir mal den Fall n=3:
Also: [mm] $F(a_0+a_1t+a_2t^2)= a_2+a_1t+a_0t^2$
[/mm]
Dann:
[mm] $F(1)=t^2=0*1+0*t+1*t^2$
[/mm]
[mm] $F(t)=t=0*1+1*t+0*t^2$
[/mm]
[mm] $F(t^2)=1=1*1+0*t+0*t^2$
[/mm]
Damit sieht die Abb.-Matrix so aus:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\1 & 0& 0}
[/mm]
FRED
> . hieraus wird mir nicht klar was der
> Zeilenvektor ist und der Spaltenvektor, denke da irgendwie
> immer an eine dreiecksmatrix wegen dem rang<=n.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Di 29.03.2011 | | Autor: | Anton22 |
Vielen Dank, jetzt weiss ich wie die darst. matrix aussieht.
//Also: $ [mm] F(a_0+a_t+a_2t^2)= a_2+a_1t+a_0t^2 [/mm] $// Kann ich voll und ganz nachvollziehen. Danach bildest du die vektoren unter der standartbasis ab, das ist auch klar, Um die determinante zu berechnen brauche ich ja in diesem Fall (nxn Matrix) kann ich einfach die Spur also die Hauptdiagonale multiplizieren mit deren Einträgen, (hier lauter 1sen) aber um die in die Spur zu bringen muss ich ja n-mal einen zeilentausch durchführen und jedesmal ändert sich ja das vorzeichen. muss ich dann eine Fallunterscheidung machen für n gerade und n ungerade?
Danke schonmal im voraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Di 29.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum experimentierst du nicht ein bissel? n=2,3,4 entweder tauschen, oder die det. direkt ausrechnen, dann kennst du die Antwort.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Di 29.03.2011 | | Autor: | Anton22 |
Ok habs raus danke, und die Funktion ist injektiv da es hierbei sich um einen Monomorphissmus handelt (dim <=n) richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Di 29.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok habs raus danke, und die Funktion ist injektiv da es
> hierbei sich um einen Monomorphissmus handelt (dim <=n)
?? was soll denn dim <=n bedeuten ??
Wie auch immer, auch wenn Du den genauen Wert von det F noch nicht hast, dürfte klar sein, dass det F [mm] \ne [/mm] 0 ist und damit ist F sogar bijektiv.
FRED
> richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Di 29.03.2011 | | Autor: | Anton22 |
Also bei der Determinante erkenne ich soweit kein Muster:
für n=2 ist detF= -1
n=3 ist detF= -1
n=4 ist detF= 1
n=5 ist detF= 1
n=6 ist detF= -1
n=7 ist detF= -1
und so alternierend bis n, jetzt bleibt meine frage immernoch offen ob ich hierbei eine Fallunterscheidung notwendig ist und ob ich das mit Induktion herleiten muss oder nicht.
Danke schonmal im voraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 Di 29.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die fallunterscheidung und induktion gehen doch leicht, also mach sie.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Di 29.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> die fallunterscheidung und induktion gehen doch leicht,
> also mach sie.
> Gruss leduart
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> vertical-align: middle ! important; width: auto;"> In Einem
> schnellen schritt</div></div>
Was ist denn da passiert ?
FRED
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