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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Mo 24.02.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Hi!
Wir haben in der Vorlesung zum Beweis von [mm] det(A^t) [/mm] = det (A) die Eigenschaft benutzt, dass [mm] det(E)^t [/mm] = det(E), also, dass die Determinante einer Elementarmatrix gleich der Determinante der transponierten ist!
Dies haben wir jedoch nie Definiert!
Warum darf ich nun davon ausgehen, dass [mm] det(E)^t [/mm] = det(E)?
Jetzt habe ich im Internet gelesen, dass für det(E) immer gilt, dass det(E) = 1!
Aber dann wäre ja die Determinante einer Matrix A, sofern diese invertierbar ist, immer 1, da die Matrix A ja als Produkt von Elementarmatrizen geschrieben werden kann, oder?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Mo 24.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
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> Wir haben in der Vorlesung zum Beweis von [mm]det(A^t)[/mm] = det
> (A) die Eigenschaft benutzt, dass [mm]det(E)^t[/mm] = det(E), also,
> dass die Determinante einer Elementarmatrix gleich der
> Determinante der transponierten ist!
> Dies haben wir jedoch nie Definiert!
> Warum darf ich nun davon ausgehen, dass [mm]det(E)^t[/mm] =
> det(E)?
>
> Jetzt habe ich im Internet gelesen, dass für det(E) immer
> gilt, dass det(E) = 1!
Für die Einheitsmatrix stimmt das. Für die anderen Typen von Elememtarmatrizen stimmt das nicht.
http://de.wikipedia.org/wiki/Elementarmatrix
FRED
> Aber dann wäre ja die Determinante einer Matrix A, sofern
> diese invertierbar ist, immer 1, da die Matrix A ja als
> Produkt von Elementarmatrizen geschrieben werden kann,
> oder?
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Mo 24.02.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Aber warum gilt, dass det(E) = [mm] det(E^t)??
[/mm]
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Zum Transponieren einer Elementarmatrix kann man wie folgt vorgehen:
- Zeilentauschen, um Diagonalgestalt zu erhalten -> Determinante ändert sich um Faktor "-1"
- entsprechende Spalten tauschen, um die Transponierte der ursprünglichen Matrix zu erhalten -> Determinante ändert sich noch einmal um den Faktor "-1".
Ergibt insgesamt einer Änderung um den Faktor [mm] $(-1)^2$. [/mm] Ergo: [mm] $\operatorname{det}(E^T)=\operatorname{det}(E)$
[/mm]
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