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Forum "Determinanten" - Determinante berechnen
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Determinante berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:51 Mo 13.06.2016
Autor: Attila

Aufgabe
Hallo, ich habe eine Matrix , die $n [mm] \times [/mm] n$ ist, ich werde es aber der Übersicht halber auf [mm] $5\times [/mm] 5$ beschränken (weil ich mit der Pünktchenschreibweise noch nicht zurechtkomme). Ich soll nun die Determinante berechnen von dieser Matrix:
[mm] $\pmat{ a&1&1&1&1\\ 1&a&1&1&1 \\ 1&1&a&1&1\\ 1&1&1&a&1\\ 1&1&1&1&a}$. [/mm]
Nun ist zz., dass für die [mm] $n\times [/mm] n$ Matrix A mit der obigen Gestalt folgendes gilt:
[mm] $det(A)=(a-1)^{n-1}(a+n-1)$. [/mm]

Hi,
meine Frage ist nun, wie ich den Induktionsschritt angehen kann, weil ich da irgendwie keine Regelmäßigkeiten erkenne. Ich habe jetzt nach der ersten Zeile entwickelt, soweit sogut, allerdings kriege ich dann Streichmatrizen  raus, für die ich keine Ahnung habe, wie ich die Determinante berechnen soll, weil das a wild springt.
Viele Dank für eure Hilfe,
Attila

        
Bezug
Determinante berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:22 Mo 13.06.2016
Autor: Jule2


> Hallo, ich habe eine Matrix , die [mm]n \times n[/mm] ist, ich werde
> es aber der Übersicht halber auf [mm]5\times 5[/mm] beschränken
> (weil ich mit der Pünktchenschreibweise noch nicht
> zurechtkomme). Ich soll nun die Determinante berechnen von
> dieser Matrix:
>  [mm]\pmat{ a&1&1&1&1\\ 1&a&1&1&1 \\ 1&1&a&1&1\\ 1&1&1&a&1\\ 1&1&1&1&a}[/mm].
>  
> Nun ist zz., dass für die [mm]n\times n[/mm] Matrix A mit der
> obigen Gestalt folgendes gilt:
>  [mm]det(A)=(a-1)^{n-1}(a+n-1)[/mm].
>  Hi,
>  meine Frage ist nun, wie ich den Induktionsschritt angehen
> kann, weil ich da irgendwie keine Regelmäßigkeiten
> erkenne. Ich habe jetzt nach der ersten Zeile entwickelt,
> soweit sogut, allerdings kriege ich dann Streichmatrizen  
> raus, für die ich keine Ahnung habe, wie ich die
> Determinante berechnen soll,

Aber da kannst du doch dann deine Induktionsvorraussetzung anwenden

> weil das a wild springt.
>  Viele Dank für eure Hilfe,
>  Attila

Am besten du postest mal was du bisher hast dann kann man dir besser Helfen!!

LG

Bezug
                
Bezug
Determinante berechnen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:14 Mo 13.06.2016
Autor: Attila

Hi,
ich kann das für die Streichmatrix [mm] $A_{11}$ [/mm] anwenden (die Induktionsvoraussetzung), allerdings für den Rest nicht, denn z.B. ist
[mm] $A_{13}=\pmat{ 1&a&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&a&1 \\ 1&1&1&a}$ [/mm] (die Streichmatrix, die ich nach streichen der 1 Zeile und 3.Spalte bekomme) und deswegen weis ich nicht weiter.
LG,
Attila

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Determinante berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:54 Mo 13.06.2016
Autor: Leopold_Gast

Mußt du das per Induktion machen? Es geht doch auch ganz ohne.
Erst alle Spalten ab der zweiten zur ersten addieren. Dann ist jedes Element der ersten Spalte gleich [mm]a+n-1[/mm]. Also kann man den Faktor [mm]a+n-1[/mm] vor die Determinante ziehen, und die erste Spalte besteht jetzt aus lauter Einsen. Die zweite bis [mm]n[/mm]-te Spalte sind noch die alten. Dann die neue erste Spalte von der zweiten, von der dritten und so weiter bis schließlich von der [mm]n[/mm]-ten subtrahieren. Dann bekommt man eine untere Dreiecksmatrix mit [mm]1,a-1,a-1,\ldots,a-1[/mm] in der Hauptdiagonalen. Fertig.

Bezug
                                
Bezug
Determinante berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:44 Mo 13.06.2016
Autor: Attila

Danke, das hat mir super geholfen.

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