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| Aufgabe | Für n [mm] \in \IN [/mm] sei die folgende Matrix A [mm] =(a_{i,j}) \in M_{n,n} (\IR) [/mm] gegeben.
A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & \cdots & (n-1) & n \\ 2 & 3 & \cdots & n & 0 \\ \vdots & \vdots & & & \vdots \\ (n-1) & n & & & 0 \\ n & 0 & \cdots & 0 & 0 }
[/mm]
d.h. a_(i,j) = [mm] \begin{cases} i+j-1, & \mbox{falls } i \le j \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie det A. |
Hallo zusammen,
an alle erstmal ein frohes neues Jahr!
Jetzt zu meinem Problem bei dieser Aufgabe.
Ich weiß zwar wie ich die determinante einer Matrix berechnen kann mittels Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte.
Aber hier komm ich irgendwie nicht weit da ja n [mm] \in \IN.
[/mm]
Hoffe jemand kann mir helfen!
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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Tausche die erste mit der letzten Spalte, die zweite mit der vorletzten, die dritte mit der drittletzten usw.
Bei jeder dieser Vertauschungen ändert die Determinante das Vorzeichen. Jetzt mußt du nur noch zählen, ob das geradzahlig oder ungeradzahlig mal passiert. Und wie man von einer Dreiecksmatrix die Determinante berechnet, sollte bekannt sein.
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ok habe ich verstanden, Danke.
Verstehe die Matrix aber noch nicht so ganz: da steht ja n-te Zeile, 1. Spalte ein n, da müsste doch laut vorraussetzung eine null stehen da doch 0 falls i>j ????oder verstehe ich das falsch!!??
viele Grüße, der mathedepp_no.1
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Hallo,
die Definition ist ja auch falsch. Die Bedingung müsste lauten:
falls [mm] $i+j-1\le [/mm] n$
Dann passt es auch mit der Matrix...
Gruß
Martin
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hallo nochmal.
muss leider nochmal nachfragen,
das prinzip habe ich schon verstanden aber wie man an die Sache rangeht, bzw. sie zu Papier bringt, ist mir noch völlig unbegreiflich....
habe jetzt mal durch reine Überlegungen folgendes herausgefunden:
für n gerade gilt: det A = [mm] (-1)^{\bruch{n}{2}} \* n^n
[/mm]
für n ungerade git: det A = [mm] (-1)^{\bruch{n-1}{2}} \* n^n
[/mm]
Aber wie zeige ich jetzt, dass es gilt???
Hoffe jemand kann mir helfen!!!!
viele Grüße, der mathedepp_No.1
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Hey Leute, lasst mich bitte nicht hängen!!!!
Viele liebe Grüße, der mathedepp
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Jo moin
das stimmt, kannste aber noch einen Tick schöner (zusammengefasst) aufschreiben:
det A = [mm] (-1)^{[\bruch{n}{2}]} n^n [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Dann haste das ohne Fallunterscheidung
Gruß
schachuzipus
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ok mithilfe der Abrundungsfunktion  Geschickt, danke.
Aber wie beweise ich das, dass das stimmt, kann ja nicht einfach ingehen und sagen: Hab mir das im Kopf überlegt und wenn mann es für geliebige n ausprobiert kommts richtig raus....
Muss ja irgendwie beweisen, dass die Formel stimmt... nur wie???
viele Grüße, mathedepp_No.1
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Hi,
formal ganz korrekt per Induktion, aber es müsste genügen, wenn du
das über die Multilinearität der Determinante begründest:
Du kannst [mm] [\bruch{n}{2}] [/mm] Spalten vertauschen, und bei jedem
Tausch wird halt die Determinante mit -1 multipliziert.
Schließlich haste ne obere Dreiecksmatrix, deren Determinante ja das Produkt auf der Hauptpiagonalen ist, also [mm] n^n
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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ja das ist mir schon klar, bin ja auch nur so auf die Formel gekommen, aber reicht das als begründung, was du grade geschrieben hast???
Viele GRüße, mathedepp_No.1
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Hi
tja, das vermag nur Hr. Schwer zu entscheiden,
aber wir hatten doch schon ein Übungsblatt, wo wir sowas
ähnliches zeigen sollten.
Da hat das als Begründung ausgereicht.
Ich denke mal, das reicht hier auch, wenn du das schön "verpackst"
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
es geht auch ohne Runden:
[mm] $\det [/mm] A = [mm] \left(-1\right)^{\bruch{n\left(n-1\right)}{2}}$.
[/mm]
Das kann man sich leicht herleiten, wenn man immer nur benachbarte Spalten vertauscht.
Zum Formalen:
Wir wissen, dass wir [mm] $\left|\bruch{n}{2}\right|$ [/mm] oder [mm] $\bruch{n\left(n-1\right)}{2}$ [/mm] Spaltenvertauschungen vornehmen müssen. Welche Zahl wir nehmen, ist egal, da die Potenzen von -1 immer gleich sind.
Was ist eine Spaltenvertauschung? Eine Multiplikation von rechts mit einer speziellen Matrix. Wir definieren:
[mm] $T_{i,j}$ [/mm] sei die Matrix, die entsteht, wenn man in der Einheitsmatrix [mm] $E_n$ [/mm] die i-te und j-te Spalte vertauscht.
Das Schöne an dieser Matrizen ist: Die Determinante ist immer -1.
Also ist A ein Produkt aus der Dreiecksmatrix D und [mm] $\left|\bruch{n}{2} \right|$ [/mm] Matrizen mit der Determinante -1, weil man für die Rücktransformation von D nach A genauso viele Vertauschungen braucht wie in die Hinrichtung (ääh, Hin-Richtung).
Da die Determinante eines Produkts gleich dem Produkt der Determinanten ist, steht dann dort:
[mm] $\det [/mm] A = [mm] \det \left(D*T_{i_1,j_1}*...*T_{i_{\left|\bruch{n}{2} \right|},j_{\left|\bruch{n}{2} \right|}}\right) [/mm] = [mm] \det D*\det T_{i_1,j_1}*...*\det T_{i_{\left|\bruch{n}{2} \right|},j_{\left|\bruch{n}{2} \right|}} [/mm] = [mm] \det D*\left(-1\right)^{\left|\bruch{n}{2}\right|}$ [/mm] .
Entscheidet man sich für das Vertauschen direkt benachbarter Spalten, dann hat man mehr Vertauschungen und damit auch mehr Multiplikationen, aber das Ergebnis ist dasselbe:
[mm] $\det [/mm] A = [mm] \det \left(D*T_{i_1,j_1}*...*T_{i_{\bruch{n\left(n-1\right)}{2}},j_{\bruch{n\left(n-1\right)}{2}}}\right) [/mm] = [mm] \det D*\det T_{i_1,j_1}*...*\det T_{i_{\bruch{n\left(n-1\right)}{2}},j_{\bruch{n\left(n-1\right)}{2}}} [/mm] = [mm] \det D*\left(-1\right)^{\bruch{n\left(n-1\right)}{2}}$ [/mm] .
Gruß
Martin
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Meiner Ansicht nach reicht es völlig, wenn man sagt:
Für [mm]k \leq \frac{n}{2}[/mm] tauschen wir die Spalte [mm]k[/mm] mit der Spalte [mm]n-k[/mm]. Dabei entsteht eine obere Dreiecksmatrix mit jedes Mal [mm]n[/mm] in der Hauptdiagonalen. Ist [mm]n[/mm] gerade, so sind das genau [mm]\frac{n}{2}[/mm] Vertauschungen, ist [mm]n[/mm] ungerade, so bleibt die mittlere Spalte unverändert, und es sind genau [mm]\frac{n-1}{2}[/mm] Vertauschungen. Da sich bei jeder Vertauschung von Spalten das Vorzeichen ändert, hat die Determinante den Wert
[mm](-1)^{\left[ \frac{n}{2} \right]} \, n^n[/mm]
Das ist ein Beweis in ausführlichster Breite. Mehr geht nicht.
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mein Reden ;)
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 09.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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