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Hallo,
ich hab folgendes Problem.
Und zwar habe ich eine nxn-Matrix A mit lauter Nullen auf der Diagonalen und ansonsten überall Einsen.
Nun brauche ich zwecks Eigenwertberechnung das charakteristische Polynom also
[mm]\chi(t) = det (A - t \cdot E_{n})[/mm]
Die Matrix hat jetzt also -t in allen Diagonaleinträgen und ansonsten überall Einsen, sieht also etwa so aus:
[mm] \begin{bmatrix}
-t & 1 & \cdots & 1 \\
1 & -t & & \vdots \\
\vdots & & \ddots & 1 \\
1 & \cdots & 1 & -t
\end{bmatrix}
[/mm]
Ich hab mir nun mit Maple die charakteristischen Polynome für verschiedenes n ausrechnen lassen und offenbar ist also
[mm]\chi(t) = (-1)^{n} \cdot (t-(n-1)) \cdot (t+1)^{n-1}[/mm]
Das Problem ist, ich komm ums Verrecken nicht drauf wie ich diese Determinante berechnen kann. Jede Gauß-Umformung führt irgendwie zu nichts und auch vollständige Induktion für die Formel krieg ich nicht hin.
Hat irgendjemand eine Idee wie ich begründen kann, dass das wirklich das charakteristische Polynom ist?
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Hallo Vuffi-Raa,
> Hallo,
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> ich hab folgendes Problem.
> Und zwar habe ich eine nxn-Matrix A mit lauter Nullen auf
> der Diagonalen und ansonsten überall Einsen.
> Nun brauche ich zwecks Eigenwertberechnung das
> charakteristische Polynom also
>
> [mm]\chi(t) = det (A - t \cdot E_{n})[/mm]
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> Die Matrix hat jetzt also -t in allen Diagonaleinträgen
> und ansonsten überall Einsen, sieht also etwa so aus:
>
> [mm]\begin{bmatrix}
-t & 1 & \cdots & 1 \\
1 & -t & & \vdots \\
\vdots & & \ddots & 1 \\
1 & \cdots & 1 & -t
\end{bmatrix}[/mm]
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> Ich hab mir nun mit Maple die charakteristischen Polynome
> für verschiedenes n ausrechnen lassen und offenbar ist
> also
>
> [mm]\chi(t) = (-1)^{n} \cdot (t-(n-1)) \cdot (t+1)^{n-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Forme die Matrix wie folgt um:
1) Multipliziere die letzte (n-te) Spalte mit \red{-1}
Dabei ändert sich die Determinante (Multiplikation mit \red{-1})
2) Addiere die letzte Spalte zu jeder der ersten n-1 Spalten
Dabei ändert die Det sich nicht
3) Addiere sukzessive die 1., 2., ..., (n-1)-te Zeile zur letzten (n-ten) Zeile
Wieder keine Änderung in der Det.
Das liefert eine obere Dreiecksmatrix, die in den Einträgen $a_{11}$ bis $a_{(n-1),(n-1)}$ jeweils den Eintrag $\blue{-t-1}$ hat und im Eintrag $a_{nn}$ den Eintrag $t+(n-1)\cdot{}(-1)}=\green{t-(n-1)}$
Damit ergibt sich die Det zu $\red{(-1)}\cdot{}\underbrace{\blue{(-t-1)\cdot{}(-t-1)\cdot{}....\cdot{}(-t-1)}}_{(n-1)-mal}\cdot{}\green{(t-(n-1))}$
Und das ist $=(-1)\cdot{}(-t-1)^{n-1}\cdot{}(t-(n-1))=(-1)\cdot{}(-1)^{n-1}\cdot{}(t+1)^{n-1}\cdot{}(t-(n-1))$
Und das ist genau das gewünschte Ergebnis
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> Das Problem ist, ich komm ums Verrecken nicht drauf wie ich
> diese Determinante berechnen kann. Jede Gauß-Umformung
> führt irgendwie zu nichts und auch vollständige Induktion
> für die Formel krieg ich nicht hin.
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> Hat irgendjemand eine Idee wie ich begründen kann, dass
> das wirklich das charakteristische Polynom ist?
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:47 Fr 03.07.2009 | | Autor: | Vuffi-Raa |
Hallo schachuzipus!
Danke für diese schnelle und ausführliche Antwort (und das um diese Uhrzeit)!
Hab auch alle Umformungen verstanden, jetzt komm ich super weiter. 
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