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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Fr 07.09.2007 | | Autor: | vohigu |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix:
(a 1 1)
A= (1 b 1)
(1 1 c)
Berechnen Sie die Determinante von A durch Entwicklung nach der zweiten Zeile. |
Also ich weiss wie ich eine Determinante berechne. Meine Farage allerdings ist: Was soll das heißen mit der Entwicklung nach der zweiten Zeile.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Fr 07.09.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo vohigu,
es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Determinante zu bestimmen. Bei einer dieser Möglichkeiten schreibt man eine n-reihige Determinante (bei Dir ist n=3) als Summe von (n-1)-reihigen Determinanten, die in Deinem Fall dann quadratisch sind.
Wie kommt man nun auf diese sogenannte "erniedrigte Darstellung"? Man geht alle Elemente der geforderten Reihe durch und streicht alle Matrixelemente heraus, die in der i-ten Zeile und der k-ten Spalte stehen, für das Matrixelement [mm] a_{21} [/mm] also die Elemente der zweiten Zeile und der ersten Spalte. Das Matrixelement selbst ist der Vorfaktor der "erniedrigten" Determinante. Das Vorzeichen dieses Vorfaktors ergibt sich durch Berechnung der Größe [mm] (-1)^{i+k} [/mm]. Für Dein Beispiel sähe das so aus (ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet):
$$ D = -1 [mm] \vmat{ 1 & 1 \\ 1 & c} [/mm] +b [mm] \vmat{ a & 1 \\ 1 & c} [/mm] -1 [mm] \vmat{a & 1 \\ 1 & 1}\, [/mm] . $$
Die Determinante einer quadratischen Matrix kennst Du sicherlich (Produkt der Hauptdiagonalelemente minus Produkt der Nebendiagonalelemente).
Viel Spaß,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Fr 07.09.2007 | | Autor: | vohigu |
| Aufgabe | | Wenn ich dass richtig verstanden habe hast du die Determinante der n³ Matrix bestimmt indem du die Summe der n² Matrixen die sich aus der n³ Matrix ergeben bestimmt hast. |
Ich möchte aber keine Lösung für die aufgabe, sondern nur erklärt bekommen was mit der "Entwicklung nach der Zeiten Zeile" gemeint ist.
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Hallo Marius,
ich schmeiße mal das Stichwort "Laplace'scher Entwicklungssatz"
in den Raum.
Damit kannst du die Determinante einer [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix nach der i-ten Zeile oder nach der j-ten Spalte berechnen.
nach der i-ten Zeile:
[mm] $det(A)=\sum\limits_{j=1}^n(-1)^{i+j}\cdot{}a_{ij}\cdot{}det(A_{ij})$
[/mm]
wobei [mm] A_{ij} [/mm] diejenige Matrix ist, die man aus A erhält, indem man die i-te Zeile und j-te Spalte streicht.
Das heißt in deinem Fall:
[mm] $det(A)=\sum\limits_{j=1}^3(-1)^{2+j}\cdot{}a_{2j}\cdot{}det(A_{2j})$
[/mm]
Hilft dir das?
Sonst schau mal ins Skript oder bei wikipedia rein, da steht das ausführlich erklärt...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Fr 07.09.2007 | | Autor: | vohigu |
jop das reicht schon.
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