Determinante einer Matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Fr 16.01.2004 | | Autor: | Alexis |
Hallo, ich habe diese Seite kürzlich gefunden und habe schon jetzt sehr viel von den Fragen anderer gelernt. Nun habe ich aber ein eigenes Problem, bei dem ich nicht die geringste Idee habe. Falls mir also irgendjemand mit einem Ansatz auf die Sprünge helfen könnte, wäre ich echt froh.
Es sei K ein kommutativer Ring mit 1 und [mm]a_0, a_1,...,a_n \in K.[/mm]
Zeigen Sie:
[mm] \begin{vmatrix} 1 & 1 & ... & 1 \\ a_0 & a_1 & ... &a_n\\a_0^2 & a_1^2 & ... & a_n^2\\a_0^n & a_1^n & ... & a_n^n\end{vmatrix} [/mm]
Die Determinante dieser Matrix soll gleich [mm] \prod_{0 \leq i \leq j \leq n} (a_j - a_i) [/mm] sein.
Wobei ich die vertikalen Punkte in der Matrix nicht eingeben konnte, die natürlich zwischen [mm]a_0^2 [/mm] und [mm] a_0^n [/mm] kommen.
Wie gesagt, wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte, wäre das echt klasse, danke schon mal im voraus.
Alexis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Fr 16.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Alexis,
willkommen im MatheRaum!
Beh.:
[mm] \begin{vmatrix}
1 & 1 & ... & 1 \\
a_0 & a_1 & ... &a_n\\
a_0^2 & a_1^2 & ... & a_n^2\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_0^n & a_1^n & ... & a_n^n
\end{vmatrix} =\produkt_{0 \leq i < j \leq n} (a_j - a_i) [/mm]
(Übrigens wird über [mm] 0 \leq i < j \leq n [/mm] multipliziert, da [mm]i \leq j [/mm] ja sofort bedeuten würde, dass das Produkt 0 ist.)
Beweisen könnte man diese Gleichung mit vollständiger Induktion, ich gebe die Schritte mal nur skizzenhaft an.
Für n=1 (oder sogar n=0) ist die Sache klar.
Angenommen also, die Gleichung gilt für ein n.
Jetzt subtrahiere ich von der n-ten Zeile das [mm] a_0 [/mm]-fache der (n-1)-ten Zeile,
von der (n-1)-ten Zeile das [mm] a_0 [/mm]-fache der (n-2)-ten Zeile,
usw.
bis zur 2. Zeile, von der ich das [mm] a_0 [/mm]-fache der 1. Zeile subtrahiere.
All diese Operationen verändern den Wert der Determinante nicht, da immer nur Vielfache ganzer Zeilen subtrahiert werden.
Ich erhalte dann:
[mm] \begin{vmatrix}
1 & 1 & ... & 1 \\
0 & a_1-a_0 & ... &a_n-a_0\\
0 & a_1^2-a_1*a_0 & ... & a_n^2-a_n*a_0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & a_1^n-a_1^{n-1}*a_0 & ... & a_n^n-a_n^{n-1}*a_0
\end{vmatrix} [/mm]
Nun subtrahiere ich noch von der 2. bis zur n-ten Spalte die 1. Spalte, es verschwinden dadurch nur die 1 in der ersten Zeile:
[mm] \begin{vmatrix}
1 & 0 & ... & 0 \\
0 & a_1-a_0 & ... &a_n-a_0\\
0 & a_1^2-a_1*a_0 & ... & a_n^2-a_n*a_0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & a_1^n-a_1^{n-1}*a_0 & ... & a_n^n-a_n^{n-1}*a_0
\end{vmatrix} [/mm]
Außerdem klammere ich in jeder Spalte aus:
[mm] \begin{vmatrix}
1 & 0*(a_1-a_0) & ... & 0*(a_n-a_0) \\
0 & 1*(a_1-a_0) & ... &1*(a_n-a_0)\\
0 & a_1*(a_1-a_0) & ... & a_n*(a_n-a_0)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & a_1^{n-1}*(a_1-a_0) & ... & a_n^{n-1}*(a_n-a_0)
\end{vmatrix} [/mm]
Jetzt kann aus der 2. bis zur n-ten Spalte die Differenz ausgeklammert werden.
[mm] (a_1-a_0)*\ldots*(a_n-a_0)*\begin{vmatrix}
1 & 0 & ... & 0 \\
0 & 1 & ... &1\\
0 & a_1 & ... & a_n\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & a_1^{n-1} & ... & a_n^{n-1}
\end{vmatrix} [/mm]
Siehst du nun, wie es weiter geht? Noch ein Tipp: Die Induktionsvoraussetzung jetzt anwenden.
Falls es noch Probleme gibt oder du uns die Lösung präsentieren kannst, melde dich bitte wieder.
Viel Erfolg,
Marc
P.S.: Ach ja, diese Matrix/Determinante heißt übrigens Vandermondsche Matrix/Determinante.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Sa 17.01.2004 | | Autor: | Alexis |
Danke Marc, ich denke damit komme ich weiter. Ich werde dann versuchen mein Ergebnis zu posten, wenn ich es dann hinbekommen habe.
Bis denne,
Alexis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 So 18.01.2004 | | Autor: | Alexis |
Hi Marc,
ich habe die Aufgabe nach meinem Verständnis gelöst.
Ich hoffe es geht so, habe es nämlich etwas anders gemacht als du, und zwar habe ich als I.V, dass es für ein bel. n gilt, und habe dann den I.S mit n+1 gemacht.
Ich habe dann die Matrix umgeformt, wie du gezeigt hast, auf die Idee wäre ich wohl nie gekommen:) und sie dann nach der 1. Spalte entwickelt. Dann habe ich
[mm] \prod_{i=1}^{n+1} (a_i - a_0)[/mm]
mal die Determinante von
[mm]\begin{vmatrix} 1 & 0 & ... & 0 \\ a_1 & a_2 & ... & a_{n+1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1^n & a_2^n & ... & a_{n+1}^n \end{vmatrix}[/mm]
da stehen.
Die Matrix ist ja wieder eine nxn Matrix, auf die ich dann meine Induktionsvoraussetzung anwenden kann. Dann habe ich:
[mm] \prod_{i=1}^{n+1} (a_i - a_0)[/mm] mal [mm] \prod_{0\leq i
Das müsste doch so richtig sein, oder?
Würde mich freuen, wenn du mir dass irgendwann sagen könntest. Muss auch nicht mehr heute sein, bin stolz genug, dass ich das so weit geschafft hab :)), auch wenn du mir natürlich eine ganze Menge verraten hast.
Noch einen schönen Sonntag,
Alexis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:35 Mo 19.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Alexis,
ich hoffe, Stefan bearbeitet diese Aufgabe nicht tatsächlich noch, 22:00 ist doch schon lange vorbei. Da ich schon in diesen Thread gepostet habe, wage ich mal eine Antwort...
> ich habe die Aufgabe nach meinem Verständnis gelöst.
Das hört sich doch gut an...
> Ich hoffe es geht so, habe es nämlich etwas anders gemacht
> als du, und zwar habe ich als I.V, dass es für ein bel. n
> gilt, und habe dann den I.S mit n+1 gemacht.
>
> Ich habe dann die Matrix umgeformt, wie du gezeigt hast,
> auf die Idee wäre ich wohl nie gekommen:) und sie dann nach
Auf die Idee bin ich jetzt auch nicht selbst gekommen, ich konnte mich aber erinnern, dass ich diese Determinante auch schon mal ausgerechnet hatte. Deswegen habe ich bei meiner Antwort erst wieder etwas selbst überlegt und es dann nachgeschlagen 
> der 1. Spalte entwickelt. Dann habe ich
>
>
> [mm]\prod_{i=1}^{n+1} (a_i - a_0)[/mm]
>
> mal die Determinante von
>
> [mm]\begin{vmatrix} 1 & 0 & ... & 0 \\ a_1 & a_2 & ... & a_{n+1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1^n & a_2^n & ... & a_{n+1}^n \end{vmatrix}[/mm]
Hier meinst du bestimmt lauter 1 in der ersten Zeile, oder? Das hast du bestimmt nur falsch abgeschrieben, da die (n+1)x(n+1)-Determinante eine solche 1. Zeile hat. Falls es tatsächlich so gemeint ist, sollten wir nochmal darüber reden
> da stehen.
>
> Die Matrix ist ja wieder eine nxn Matrix, auf die ich dann
> meine Induktionsvoraussetzung anwenden kann. Dann habe
> ich:
>
> [mm]\prod_{i=1}^{n+1} (a_i - a_0)[/mm] mal [mm]\prod_{0\leq i
> = [mm]\prod_{0\leq i
>
> Das müsste doch so richtig sein, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, alles OK. Du hast den Induktionsschritt von n->n+1 gemacht, ich von n-1->n. Das ist natürlich egal, aber es zeigt immerhin, dass du tatsächlich mit Verständnis (s.o.) gearbeitet hast, das freut mich 
> Würde mich freuen, wenn du mir dass irgendwann sagen
> könntest. Muss auch nicht mehr heute sein, bin stolz genug,
> dass ich das so weit geschafft hab :)), auch wenn du mir
> natürlich eine ganze Menge verraten hast.
Ein großer Teil des Mathe-Studium besteht auch einfach nur aus dem Aneignen von Techniken und Denkweisen, insofern ist es nicht tragisch, dass du nicht sofort drauf gekommen bist.
Alles Gute und hoffentlich bis bald mal,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:10 Mo 19.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marc,
> ich hoffe, Stefan bearbeitet diese Aufgabe nicht
> tatsächlich noch, 22:00 ist doch schon lange vorbei.
Tut mir leid, das war ein Versehen. Ich wollte die Aufgabe gar nicht bearbeiten. Vermutlich bin ich irgendwie in Gedanken mal auf den gelben Punkt gekommen, als ich mir die Frage angeschaut hatte.
Naja, zum Glück hast du die Aufgabe ja noch beantwortet.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Mo 19.01.2004 | | Autor: | Alexis |
Hi Marc, ich habe jetzt noch 2 kleine Fragen dazu.
1. Warum kann ich denn bei der Umwandlung der Matrix nach den Zeilenoperationen noch von der 2. bis letzten Spalte die 1. abziehen? Ich dachte, man darf entweder nur Zeilen-, oder nur Spaltenoperationen machen? Das ist mir nicht ganz klar...
2. Ist die Spaltenoperation nicht überflüssig? Wenn ich die Determinante dann nach der 1. Spalte entwickle, fällt die 1. Zeile doch ohnehin weg, so dass mich die Einsen in der 1. Zeile doch nicht mehr stören, oder habe ich da jetzt einen Denkfehler?
Wäre echt nett, wenn du mir dass noch kurz erklären könntest...
Nun habe ich nur noch eine Frage zum Forum.
Wenn jemand eine Frage hat und ich nur kurz einen Denkansatz geben möchte, den auch sofort schreiben möchte, soll ich das dann als Mitteilung schreiben? Denn wenn ich auf Antwort klicke, muss ich angeben, bis wann frühestens mit meiner kompletten Antwort zu rechnen ist.
Bis denne, und danke für die Hilfe,
Alexis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Mo 19.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Alexis,
> 1. Warum kann ich denn bei der Umwandlung der Matrix nach
> den Zeilenoperationen noch von der 2. bis letzten Spalte
> die 1. abziehen? Ich dachte, man darf entweder nur Zeilen-,
> oder nur Spaltenoperationen machen? Das ist mir nicht ganz
> klar...
Das ist richtig, entweder Zeilen- oder Spaltenoperationen, aber nachdem du eine (Zeilen- oder Spalten-) Operation ausgeführt hast, kannst du dich wieder neu zwischen beiden entscheiden. Die Determinante merkt sich ja nicht die durchgeführten Operationen, ihr Wert ändert sich ja gerade dadurch nicht.
Es ist aber nicht erlaubt, eine Zeilenoperation gleichzeitig mit einer Spaltenoperation durchzuführen (obwohl man wahrscheinlich auch nie in versuchung käme, das wären mir zu viele Zahlenkolonnen auf einmal).
> 2. Ist die Spaltenoperation nicht überflüssig? Wenn ich die
> Determinante dann nach der 1. Spalte entwickle, fällt die
> 1. Zeile doch ohnehin weg, so dass mich die Einsen in der
> 1. Zeile doch nicht mehr stören, oder habe ich da jetzt
> einen Denkfehler?
Wir benötigen die Nullen, um die Differenzen aus der Determininante auszuklammern, und nicht für die Entwicklung der Determinante. Man darf ja (wieder nur) aus einer Spalte/Zeile einen gemeinsamen Faktor ausklammern, und da stört die 1 in der obersten Zeile; von der 0 können wir aber jeden Faktor abspalten.
> Wäre echt nett, wenn du mir dass noch kurz erklären
> könntest...
Klar, frage bitte wieder nach, falls ich mich wieder zu umständlich ausdrücke...
> Nun habe ich nur noch eine Frage zum Forum.
>
> Wenn jemand eine Frage hat und ich nur kurz einen
> Denkansatz geben möchte, den auch sofort schreiben möchte,
> soll ich das dann als Mitteilung schreiben? Denn wenn ich
> auf Antwort klicke, muss ich angeben, bis wann frühestens
> mit meiner kompletten Antwort zu rechnen ist.
Das "Bearbeiten einer Frage" ist eigentlich nicht als "Komplettes Beantworten" der Frage gemeint; es soll alles darunter fallen, was dem Fragesteller weiter hilft.
Der Vorteil gegenüber einer einfachen Mitteilung ist aber, dass parallele Antworten auf dieselbe Frage vermieden werden. Das hielte ich nämlich für Zeitverschwendung, da ja die W'keit recht hoch ist, dass beide ähnliche Antworten geben, weil sie nicht wissen, was der andere antwortet.
Wenn du also ein paar Denkansätze hast für jemanden hier im Forum, "reserviere" dir die Frage ruhig, du kannst die Bearbeitung ja auch einfach wieder abbrechen, falls dir was dazwischen kommt.
Im Zweifel kannst du natürlich auch einfach "Mitteilungen" schreiben wir freuen uns schließlich über jede Unterstützung. (Übrigens sind auch Vorschläge willkommen, wie die einzelnen "Knöpfe" besser zu beschriften sind, die Formulierungen der Beschriftungen habe ich bei der Programmierung etwas vernachlässigt).
Viele Grüße,
Marc.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 Di 29.06.2010 | | Autor: | stk66 |
Ich grabe mal diesen etwas älteren Induktionsbeweis aus, da ich eine Unklarheit am Ende bei der Zusammenfassung der Produkte habe.
Am Ende hatten wir ja folgendes:
[mm] (a_1-a_0)\cdot{}\ldots\cdot{}(a_n-a_0)\cdot{}\begin{vmatrix} 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & ... &1\\ 0 & a_1 & ... & a_n\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_1^{n-1} & ... & a_n^{n-1} \end{vmatrix}
[/mm]
Ich habe dann wie folgt weitergemacht: (Produkt zusammengefasst und nach 1. Spalte entwickelt)
= [mm] \produkt_{i=1}^{n}(a_{i}-a_{0})\cdot\vmat{ 1 & \cdots & 1 \\ a_{1} & \cdots & a_{n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1}^{n-1} & \cdots & a_{n}^{n-1} }
[/mm]
[mm] \underbrace{=}_{IV} \produkt_{i=1}^{n}(a_{i}-a_{0})\cdot \produkt_{0\le i
Das müsste ja dann gleich [mm] \produkt_{0\le i
Diesen Schritt kann ich nicht nachvollziehen. Oder ist er falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Do 01.07.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Ich grabe mal diesen etwas älteren Induktionsbeweis aus,
> da ich eine Unklarheit am Ende bei der Zusammenfassung der
> Produkte habe.
Sehr vorbildlich
> Am Ende hatten wir ja folgendes:
>
> [mm](a_1-a_0)\cdot{}\ldots\cdot{}(a_n-a_0)\cdot{}\begin{vmatrix} 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & ... &1\\ 0 & a_1 & ... & a_n\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_1^{n-1} & ... & a_n^{n-1} \end{vmatrix}[/mm]
>
> Ich habe dann wie folgt weitergemacht: (Produkt
> zusammengefasst und nach 1. Spalte entwickelt)
>
> = [mm]\produkt_{i=1}^{n}(a_{i}-a_{0})\cdot\vmat{ 1 & \cdots & 1 \\ a_{1} & \cdots & a_{n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1}^{n-1} & \cdots & a_{n}^{n-1} }[/mm]
>
> [mm]\underbrace{=}_{IV} \produkt_{i=1}^{n}(a_{i}-a_{0})\cdot \produkt_{0\le i
In dem rechten Produkt kann $i$ offensichtlich auch den Wert 0 annehmen, so dass das ja irgendwie nicht sein kann, da in der Determinante zuvor gar kein [mm] $a_0$ [/mm] vorkommt. Ebenso würde [mm] $a_n$ [/mm] fehlen. Mit einer Korrektur der Laufindices müsste es also stimmen:
[mm]\underbrace{=}_{IV} \produkt_{i=1}^{n}(a_{i}-a_{0})\cdot \produkt_{\red{1}\le i
> Das müsste ja dann gleich [mm]\produkt_{0\le i
> sein.
Jetzt ja, siehst du es auch?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:14 Mi 19.10.2005 | | Autor: | KommX |
Dir ist ein kleiner Fehler unterlaufen.
In der Beh. müssten die Potenzen nur bis n-1 gehen.
Die Matrix, die in deiner Behauptung steht ist ja so nicht quadratisch. Dann macht der Begriff einer Determinante ja auch nicht viel Sinn.
Ist nur was kleines, was ausgebessert werden sollte.
EDIT: Ich hab mich wohl verguckt. Den Fehler, den ich gesehen habe, gibt es nicht. Entschuldige.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:57 Do 20.10.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo KommX,
> Dir ist ein kleiner Fehler unterlaufen.
>
> In der Beh. müssten die Potenzen nur bis n-1 gehen.
> Die Matrix, die in deiner Behauptung steht ist ja so nicht
> quadratisch. Dann macht der Begriff einer Determinante ja
> auch nicht viel Sinn.
Doch, die Matrix ist quadratisch, es ist eine [mm] $(n+1)\times(n+1)$ [/mm] Matrix.
> Ist nur was kleines, was ausgebessert werden sollte.
Ich bin immer noch der Meinung, dass meine Matrix und Determinante richtig ist, bitte mache den Fehler (falls es ihn gibt ) noch etwas deutlicher.
Vielen Dank,
Marc
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