Determinante modular berechnen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie die Determinante von [mm] A = \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 99 & 99 & 100 \\ 101 & 101 & 200 } [/mm] mit modularer Arithmetik und Wahl von drei geeigneten Modulen. |
Zuerst habe ich die Determinante nach der Regel von Sarrus berechnet:
[mm] det A = -9700 [/mm]
Anschließend habe ich mir zwei verschiedene Sätze von Modulen überlegt: 1.) 99 100 101 und 2.) 3 7 11 (zwei verschiedene da für 1. eine Musterlösung existiert, ich für 2. das ganze aber nochmal verinnerlichen wollte.)
das ergibt folgende Matrizen:
1.) [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 }_{100} [/mm] ; [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 }_{99} [/mm] ; [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ -2 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -2 }_{101}
[/mm]
2.) [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 }_{3} [/mm] ; [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 4 }_{7} [/mm] ; [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 }_{11}
[/mm]
mit den folgenden Determinanten:
1.) [mm] det A_{100}=0 ; det A_{99}=2 ; det A_{101}=-4 [/mm]
2.) [mm] det A_{3}=2 ; det A_{7}=2 ; det A_{11}=2 [/mm]
Weiter geht es mithilfe von simultanen linearen Kongruenzen:
1.)
[mm]M =m_1 * m_2 * m_3 = 99 * 100 * 101 = 999900[/mm]
[mm] ggT(m_i, \br {M}{m_i})
[/mm]
10100 = 102 * 99 + 2
99 = 49 * 2 + 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 = 4999 * 99 - (10100 * 49)
9999 = 99 * 100 + 99
100 = 99 * 1 + 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 =100 * 100 - 9999 * 1
9900 = 98 * 101 + 2
101 = 50 * 2 + 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 = 4901 * 101 - (9900 * 50)
[mm] \Rightarrow [/mm] x = 2 * 10100 * 49 + 0 * (-9999) + (-4) * (-9900 * 50) = 990200
990200 [mm] \equiv [/mm] -9700 mod 999900
2.)
[mm]M =m_1 * m_2 * m_3 = 3 * 7 * 11 = 231[/mm]
[mm] ggT(m_i, \br {M}{m_i})
[/mm]
21 = 11 * + 10
11 = 10 + 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 = 2 * 11 - 21
33 = 4 * 7 + 5
7 = 5 + 2
5 = 2 * 2 + 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 = 3 * 33 - 14 * 7
77 = 25 * 3 + 2
3 = 2 + 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 = 26 * 3 - 77
[mm] \Rightarrow [/mm] x = 2 * 22 - 2 * 14 * 7 + 2 * 26 * 3 = 4
4 [mm] \not\equiv [/mm] -9700 mod 231
und eben genau hier liegt mein Problem, warum geht das nicht? Wo liegt der Fehler? Habe alle Zahlenwerte und Berechnungen sicher zwei- bis dreimal nachvollzogen, ich bekomme es einfach nicht heraus.
Bin für jeden Tipp dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
edit: det [mm] A_{101}=-4 [/mm] und nicht 12
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Danke, manchmal hat man echt Tomaten auf den Augen :)
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