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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Di 08.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Gegeben Sei eine beliebige [mm] 2\times2-Matrix
[/mm]
[mm] A=\pmat{ a & b \\ c & d}
[/mm]
mit komplexen Einträgen a, b, c und d. Die Determinante einer solchen Matrix ist definiert durch
det(A) := ad -bc .
Die Spur der Matrix A wird definiert als
tr(A) := a + d .
Zeigen Sie, dass dann
det(A- [mm] \lambda [/mm] E) = [mm] \lambda^2 -\lambda [/mm] tr(A)+det(A)
für alle [mm] \lambda \in \IC [/mm] gilt. Dabei bezeichne E wie gewöhnlich die [mm] 2\times [/mm] 2-Einheitsmatrix. |
Hallo,
ich komme mit dieser Aufgabe leider nicht klar und bitte deshalb um hilfe.
z.Z ist ja
det(A- [mm] \lambda [/mm] E) = [mm] \lambda^2 -\lambda [/mm] tr(A)+det(A)
ok, d.h. ich fange von der einen Seite an und versuche auf die andere zu kommen.
det(A- [mm] \lambda E)=(ab-bc-(\lambda \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}= [/mm] aber weiter gehts bei mir leider auch nicht mehr :-S
bin für jeden Hinweis dankbar!
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Di 08.02.2011 | | Autor: | pelzig |
Da hast du was durcheinandergebracht, es ist
[mm]\det(A-\lambda E)=\det\pmat{a-\lambda&b\\
c&d-\lambda}=(a-\lambda)(d-\lambda)-cd[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Di 08.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
danke erstmal für deine schnelle Antwort 
Hab aber eine Frage: kommt am ende nicht -bc anstatt -cd? Wenn nicht warum?
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> Hallo,
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> danke erstmal für deine schnelle Antwort
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> Hab aber eine Frage: kommt am ende nicht -bc anstatt -cd?
Ja, das war wohl ein kleiner Tippfehler 
Kamaleonti
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Di 08.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
ok dann hätte ich
[mm] \det(A-\lambda E)=\det\pmat{a-\lambda&b\\ c&d-\lambda}=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc [/mm] =ad-a [mm] \lambda [/mm] - [mm] \lambda d+\lambda^{2}-bc=\lambda^{2}-\lambda (a+d)+ad-bc=\lambda^{2} -\lambda [/mm] tr(A)+det(A)
Ist die Aufgabe damit schon fertig?
Ok klar man hat es jetzt gezeigt, ich denk nur das kanns doch nicht schon gewesen sein
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Hallo,
> ok dann hätte ich
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> [mm]\det(A-\lambda E)=\det\pmat{a-\lambda&b\\ c&d-\lambda}=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc[/mm]
> =ad-a [mm]\lambda[/mm] - [mm]\lambda d+\lambda^{2}-bc=\lambda^{2}-\lambda (a+d)+ad-bc=\lambda^{2} -\lambda[/mm]
> tr(A)+det(A)
>
> Ist die Aufgabe damit schon fertig?
> Ok klar man hat es jetzt gezeigt, ich denk nur das kanns
> doch nicht schon gewesen sein
>
Doch, das war es schon
Gruß,
Kamaleonti
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Di 08.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
ok danke für die Hilfe
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