Determinante von E-A < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Di 23.01.2007 | | Autor: | IrisL. |
| Aufgabe | Es sei A [mm] \in M_{n}(\IK) [/mm] mit [mm] A^{k} [/mm] = 0 für ein k [mm] \in \IN. [/mm] Warum ist dann E − A stets invertierbar?
(E bezeichnet die Einheitsmatrix.) |
Huhu!
Also ich habe bisher herausgefunden, daß die Determinante von A 0 ist.
[mm] 0=det(A^{k})=\underbrace{det(A)*det(A)*...*det(A)}_{k-mal}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] det(A)=0
Kann ich damit zur Lösung der Aufgabe was anfangen?
Gruß
Iris
|
|
| |
|
Berechne einmal
[mm](1-x) \left( 1 + x \right)[/mm]
[mm](1-x) \left( 1 + x + x^2 \right)[/mm]
[mm](1-x) \left( 1 + x + x^2 + x^3 \right)[/mm]
usw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Di 23.01.2007 | | Autor: | IrisL. |
Huhu!
Das ist
[mm] (1-x^{2})
[/mm]
[mm] (1-x^{3})
[/mm]
[mm] (1-x^{4}) [/mm] usw.
Leider sehe ich nicht, was ich damit anfangen kann??
Gruß
Iris
|
|
|
| |
|
Diese Formel gilt in jedem Ring mit Einselement.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Di 23.01.2007 | | Autor: | IrisL. |
Huhu!
Also ist
[mm] (E-A)*(E-A-A^{2}-...-A^{k-1})=(E-A^{k})=E
[/mm]
Und wie hilft mir das jetzt für die Determinante?
[mm] det((E-A)*(E-A-A^{2}-...-A^{k-1}))=1=det(E-A)*det(E-A-A^{2}-...-A^{k-1})
[/mm]
Also kann det(E-A) nicht 0 sein, also ist es invertierbar?!
Gruß
Iris
|
|
|
| |
|
Bis auf die Tatsache, daß es in der zweiten Klammer lauter Pluszeichen sein müßten, hast du alles schon da stehen. Du kannst die inverse Matrix explizit angeben. Und da fragst du noch nach der Determinante? Schmeiß sie weg, die brauchst du hier nicht ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Di 23.01.2007 | | Autor: | IrisL. |
Huhu!
*andiestirnklatsch*
Klar, da war ich so festgefahren auf die Determinante,... ;)
Vielen Dank!
Gruß
Iris
|
|
|
|
