Determinante von schiefsymmetrischen Matrizen < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:00 Di 06.07.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo Matheraum-Freunde!
Folgendes gilt es zu zeigen:
Eine Matrix [mm] A \is\in M(n \times n , \IK)[/mm] heißt schiefsymmetrisch, falls [mm] A^T = -A [/mm] gilt.
a) Ist [mm] A \is\in M(2n+1 , \IK)[/mm] schiefsymmetrisch, so gilt:
[mm] det (A) = 0[/mm]
b) Ist [mm] A \is\in M(2n , \IK)[/mm] schiefsymmetrisch, so gibt es ein [mm]a \is\in \IK [/mm] mit[mm]det(A)=a^2[/mm]
Als Hinweis steht bei b) noch, dass vollst. Induktion da helfen soll.
Zu meinen Lösungsversuchen: Nachdem ich erstmal glaube herausgefunden zu haben, wie eine schiefsymmetrische Matrix aussieht, weil das in der VL nich dran war, hab ichs für n=2 und n=3 probiert, aber wie soll ich das für (2n+1) zeigen???
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Gruß!
Also, a) ist nicht schwer, wenn man weiß, dass die Determinante eine sogenannte Multilinearform ist, d.h. ein Faktor, der vor einer Zeile steht kann herausgezogen werden. Steht ein Faktor also vor JEDER Zeile einer quadratischen Matrix, zieht er sich n mal heraus, woraus folgt:
[mm] det(-A) = (-1)^n det(A) [/mm]
Ist die Matrix schiefsymmetrisch, kann man auf beide Seiten der Gleichung die Determinante anwenden und benutzen, dass Transponieren an der Determinante nichts ändert - man erhält dann also für ungerades n:
[mm] det A = - det A[/mm]
Und das impliziert das Gewünschte, solange der Körper nicht gerade Charakteristik 2 hat. ;)
Probiert man dasselbe Spiel bei b) kommt man nicht wirklich weiter, da der Faktor einfach 1 ist, das heißt, man erhält keine neue Aussage. Also per Induktion. Eine schiefsymmetrische [mm] 2 \times 2[/mm] Matrix hat ja die Form:
[mm] \begin{pmatrix} 0&b\\-b&0 \end{pmatrix} [/mm]
...denn für die Diagonalelemente gilt wiederum [mm] a_{ii} = - a_{ii}[/mm] und wiederum folgt, dass sie 0 sein müssen. Der Induktionsanfang ist also erledigt, die Determinante ist schlicht [mm] b^2 [/mm].
Das sollte an Anstößen erstmal genügen, den Induktionsschritt überlasse ich nun lieber Dir. Ein bißchen was zum Knobeln soll ja über bleiben!
Gnometech
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Do 08.07.2004 | | Autor: | Micha |
a) ist mir nun klar, war auch richtig.
zu b) hab ich den richtigen Ansatz aber der Knackpunkt fehlt noch.
wegen der vielen Schreibarbeit kürz ich mal ab:
ich komme dann auf ein Schema was so aussieht:
[mm]det \, A_{(2k+2)} = \begin{bmatrix}
0 & a_{1,2} & \cdots & a_{1,2k} & a_{1,2k+1} & a_{1,2k+2} \\
-a_{1,2} & 0 & a_{2,3} &\cdots a_{2,2k} & a_{2,2k+1} & a_{2,2k+2} \\
-a_{1,3} & -a_{2,3} &\cdots & & \vdots &\vdots & \vdots \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\
-a_{1,2k} & -a_{2,2k} &\cdots & 0 & a_{2k,2k+1} & a_{2k,2k+2} \\
-a_{1,2k+1} & -a_{2,2k+1} &\cdots & -a_{2k,2k+1} & 0 & a_{2k+1,2k+2} \\
-a_{1,2k+2} & -a_{2,2k+2} &\cdots & -a_{2k,2k+2} & -a_{2k+2,2k+2} & 0 \\
\end{bmatrix}[/mm]
[mm]= \begin{bmatrix}
A'_{(2k)} & \* \\
\* & A'_{(2)} \\
\end{bmatrix} [/mm]
Wobei die Indizies in Klammern zu den Matrizen A' deren jeweilige Dimension andeuten soll. Im Induktionsbeweis hab ich nämlich die gezeigt, dass solche a² existieren, für diese Matrizen. Wie komme ich nun weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Do 08.07.2004 | | Autor: | Micha |
also ich hab im Fischer noch folgendes gefunden:
Ist eine Matrix schiefsymmetrisch mit n=4, so gilt:
[mm] det \, A = \begin{bmatrix}
0 & x_{12} & x_{13} & x_{14} \\
-x_{12} & 0 & x_{23} & x_{24} \\
-x_{13} & -x_{23} & 0 & x_{34} \\
-x_{14} & -x_{24} & -x_{34} & 0 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 & x_{12} & x_{13} & x_{14} \\
-x_{12} & 0 & x_{23} & x_{24} \\
0 & 0 & 0 & Q(x) \\
0 & 0 & -Q(x) & 0 \\
\end{bmatrix} [/mm]
wobei Q(x) folgendes sein soll:
[mm]Q(x) = \frac{P(x)}{x_{12}} \mbox{ mit } P(x) := x_{12} x_{34} - x_{13} x_{24} + x_{14} x_{23} [/mm]
Dann soll [mm] det \, A = (P(x))^2 [/mm] sein und jetzt kommts:
P(x) nennt man das "Pfaffsche Polynom" , gegeben durch:
[mm] P(x_{11} , \dots , x_{nn} = \Sum sign(\sigma) \cdot x_{\sigma(1)\,\sigma(2)} \cdot \dots \cdot x_{\sigma(2m-1)\,\sigma(2m)} [/mm] für
[mm] A \in M(n \times n;\, K) \mbox{ mit } m \in \IN [/mm]
Bringt mich das weiter?
Allgemein soll nämlich dann die Determinante sein:
[mm] det \, A = \lest( \frac{1}{m!} \cdot P(a_{11} , \dots , a_{nn}) \right)^2 [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Do 08.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Hathorman!
> Allgemein soll nämlich dann die Determinante sein:
>
> [mm]det \, A = \lest( \frac{1}{m!} \cdot P(a_{11} , \dots , a_{nn}) \right)^2[/mm]
Richtig, das liefert die Lösung.
Die exakte Lösung dieser Aufgabe findest du hier (Aufgabe 1):
![[]](/images/popup.gif) http://www.math.ethz.ch/~gruppe1/Serien/linalgMATH2/ml8.pdf
Vorschlag von mir: Lass uns die Lösung noch einmal zusammen durchgehen, sonst hast du nichts davon, wenn du sie nur abschreibst. Schreibe sie noch einmal eigenständig (auch in eigenen Worten) hier auf und markiere die Stellen, wo du Fragen hast.
Liebe Grüße
Stefan
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