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Hi!
Ich muss folgendes zeigen, weiss aber ehrlich gesagt nicht wie und wollte mal fragen, ob jemand eine Determinantenregel dazu kennt. Es geht um:
Seien [mm] x_{1},\ldots,x_{p-1} [/mm] Vektoren im [mm] \IR^{p} [/mm] und [mm] e_{q} [/mm] stehe senkrecht auf der durch den Ursprung und [mm] x_{1},\ldots,x_{p-1} [/mm] aufgespannten Hyperebene. Sei weiter M eine nichtsinguläre p [mm] \times [/mm] p Matrix und [mm] e_{q}^{(M)} [/mm] der auf der von [mm] Mx_{1},\ldots,Mx_{p-1} [/mm] und dem Ursprung aufgespannten Hyperebene senkrecht stehende Vektor. (soweit alles klar) Nun gilt für x [mm] \in \IR^{p}:
[/mm]
[mm] e_{q}^{(M)}^Tx=det(Mx_{1},\ldots,Mx_{p-1},x)=det(M)e_{q}^TM^{-1}x
[/mm]
Das zweite Gleichheitszeichen ist nicht das Problem, sondern das erste.
Danke für die Hilfe, wäre echt super wenn mir jemand einen Tipp oder einen Literaturhinweis geben könnte 
Gruss
Spellbinder
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Di 04.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> [mm]e_{q}^{(M)}^Tx=det(Mx_{1},\ldots,Mx_{p-1},x)=det(M)e_{q}^TM^{-1}x[/mm]
>
> Das zweite Gleichheitszeichen ist nicht das Problem,
> sondern das erste.
Das einzieg was mir dazu einfällt, ist das verallgem,einerte Vektorprodukt, vgl. Fischer, Kapitel 5.2, Aufgabe 6 (insbeonsdere c)) - da [mm]e_{q}^{(M)}[/mm] ja auf allen andern Vektoren senkrecht steht, ist es ein Vielfaches des dort feinierten Vektorprodukts, also müsste da oben imo noch ein weiterer Vorfaktor rein - oder es ist schon das Vektorprodukt, irgendwie implizit gegebn und ich sehe das gerade nicht - vor allem weil du schreibst: "es ist der Vektor ..." - aber im allgemeinen gibt es da ja unendlich viele.
SEcki
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:19 Di 04.10.2005 | | Autor: | Spellbinder |
Danke für den Tipp. Ich glaube mit dem verallgemeinerten Vektorprodukt bekomme ich das ganz einfach hin. Dass der Vektor bis auf eine multiplikative Konstante eindeutig bestimmt ist, macht hier keinen großen Unterschied, wenn ich das so richtig sehe. Ich hab das verallgemeinerte Vektorprodukt im Königsberger Analysis 2 gefunden und das passt wunderbar.
Auf jeden Fall, vielen Dank!
Gruss,
Spellbinder
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Die Funktion
[mm]x \mapsto \det \left( Mx_1,Mx_2,\dots,Mx_{p-1},x \right)[/mm]
ist (bei festen Spalten 1 bis [mm]p-1[/mm]) linear, also eine sogenannte Linearform. Jede Linearform
[mm]f: \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}[/mm]
kann aber in der Form
[mm]f(x) = ax[/mm]
mit einem eindeutig bestimmten [mm]a \in \mathbb{R}^p[/mm] geschrieben werden (die Multiplikation hier steht für das Standardskalarprodukt). Das ist ein Spezialfall eines Satzes von Riesz.
Ich vermute daher wie SEcki, daß das erste Gleichheitszeichen schlicht eine Definition des Vektors [mm]e_q^{(M)}[/mm] ist. Was mich dabei aber irritiert, ist dieses komische [mm]q[/mm]. Was soll das denn bedeuten?
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> Was mich dabei aber irritiert, ist dieses
> komische [mm]q[/mm]. Was soll das denn bedeuten?
Das ist schlicht ein Index, und steht im Endeffekt in Bezug zu einer Indexmenge, ist hier aber nicht relevant. Danke für die Bemühungen!
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