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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Sinus |
| Aufgabe | Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und U ein m-dimensionaler Untervektorraum von V. Sei [mm] (u_{1}, [/mm] ..., [mm] u_{m}) [/mm] eine Basis von U und
w: [mm] V^{n} \to [/mm] K eine Determinantenform auf V. Setze k:= n-m. Zeigen Sie, dass
[mm] w_{u_{1},...,u_{m}}:(V/U)^{k} \to [/mm] K,
[mm] (v_{1}+U,...,v_{k}+U) \mapsto [/mm] w [mm] (u_{1},...,u_{m}, v_{1},...,v_{k}) [/mm] eine Determinantenform auf V/U definiert. |
Hallo,
ich weiß ÜBERHAUPT nicht wie ich vorgehen soll.
Das Einzige, was ich überhaupt von den Determinanten verstanden habe ist das Folgende:
Um ein Gleichnungssystem zu lösen muss die Determinante [mm] \not=0 [/mm] sein. Wenn die Matrix A det(A)=0 ist sie zudem nicht invertierbar.
Manchmal wird im Zusammenhang der Determinante von einer Zahl gesprochen und mal von einer Abbildung... was ist die Determinante denn jetzt genau?
Ich hoffe, mir kann jemand helfen, das mit der Determinante zu verstehen und die Aufgabe zu lösen.
Vieeelen Dank im Voraus
Das ist leider nicht viel, was ich verstanden habe...;-(.
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Eine Determinantenform ist dadurch gekennzeichnet, daß sie multilinear und alternierend ist. Diese Eigenschaften mußt du daher nachweisen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:01 Sa 17.12.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo,
danke für deine Antwort. Ich habe leider aber nicht ganz verstanden, wie ich das mache... ich verstehe nicht wie was Multilinearität genau bedeutet und das mit dem Alternieren habe ich auch nicht verstanden. Ich tue mich bei der Sache mit den Determinanten unheimlich schwer. Wäre sehr dankbar um nähere Erklärungen!!
Kann mir vielleicht jemand nochmal helfen?
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Sa 17.12.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Sinus
Multilinear heisst linear in jedem Argument:
z.B. bei zwei Argumenten hat man Bilinearität. Sei B(x,y) eine Bilinearform, dann heisst dass: (Vektoren x,y, etc. Skalare [mm] $\lambda$, $\mu$ [/mm] etc.)
[mm] $B(x+\lambda x',y)=B(x,y)+\lambda [/mm] B(x',y)$ (Linearität im 1. Argument)
[mm] $B(x,y+\lambda y')=B(x,y)+\lambda [/mm] B(x,y')$ (Linearität im 2. Argument)
Alternierend heisst, dass wenn man irgendzwei Argumente vertauscht, dann dass negative herauskommt. Für die Bilinearformen gibt es nur 2 Argumente, deshalb würde es hier heissen, dass
$B(x,y)=-B(y,x)$
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Sa 17.12.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo,
vielen Dank für eure Antworten. Leider komme ich trotz der Definitionen mit meiner Aufgabe nicht voran. Ich verstehe einfach nicht, wie ich daran gehen soll... Was soll denn genau eine "Determinantenform auf V" sein? Auf was bezieht sich k= n-m in der Aufgabenstellung?Wie soll ich das Gewünschte zeigen? Verstehe GAR nicht, was ich machen muss und wie ich es machen muss...
Für jede Art von Hilfe bin ich dankbar!
Beste Grüße
Sinus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Sa 17.12.2005 | | Autor: | SEcki |
> vielen Dank für eure Antworten. Leider komme ich trotz der
> Definitionen mit meiner Aufgabe nicht voran. Ich verstehe
> einfach nicht, wie ich daran gehen soll... Was soll denn
> genau eine "Determinantenform auf V" sein?
Das hat man ja dir schon beantwortet - wenn V n-dimensional ist, ist es eine alternierende, n-fach multilineare Abbildung (n-fach: eine Abbildung [m]V^n\to V[/m]). Was das beides bedeutet, steht ja oben.
> Auf was bezieht
> sich k= n-m in der Aufgabenstellung?
n die Dimension von V, m die anzahl der linear unabhängigen Vektoren, die U aufspanenn.
> Wie soll ich das
> Gewünschte zeigen?
Multilinear und alternierend und Wohldefiniertheit überprüfen, zB das erste: in die Abbildung steckst du ja insgesamt k-mal einen Vektor hinein, jetzt musst du an jeder Stelle die Linearität überprüfen, dazu musst du Eigenschaften der ursprünglichen Determiantenform benutzen. Zeige zB [m]w_{u_{1},...,u_{m}}(v_1+\lambda*v'_1 + U,...)=w_{u_{1},...,u_{m}}v_1+U,...)+\lambda*w_{u_{1},...,u_{m}}(v'_1+U,...)[/m]. Ähnlich für alternierend. Wohldefinietheit: falls [m]v_i-v'_i\in U\forall i[/m], dann ist [m]w_{u_{1},...,u_{m}}(v_1+U,...)=w_{u_{1},...,u_{m}}v'_1+U,...)[/m].
SEcki
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Fangen wir doch einmal mit dem Alternieren an. Wenn du zwei Argumente deiner Abbildung vertauschst, so sind gemäß Definition auch die beiden zugehörigen v's zu tauschen. Da aber die rechte Seite gemäß Voraussetzung alterniert, ändert sich hierbei das Vorzeichen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:31 Sa 17.12.2005 | | Autor: | SEcki |
> Eine Determinantenform ist dadurch gekennzeichnet, daß sie
> multilinear und alternierend ist. Diese Eigenschaften mußt
> du daher nachweisen.
Es fehlt noch eine: ob die Abbildung überhaupt wohldefiniert ist, das heisst wenn ich anstatt [m](v_1+U,v_2+U,...)[/m] [m](v'_1+U,v'_2+U,...)[/m] habe mit [m]v_i-v'_i\in U[/m], dass dann [m]w(v_1,v_2,...)=w(v'_1,...)[/m] ist.
SEcki
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