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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:12 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Mikke |
hallo!
und zwar habe ich Probleme mit folgender Aufgabe
Es seien A [mm] \in [/mm] M(m x m,K), B [mm] \in [/mm] M(n x n,K) und C [mm] \in [/mm] M(m x n,K).
Man soll nun zeigen, dass det [mm] \pmat{ A & C \\ 0 & D } [/mm] = det(A)det(B)
ist.
ich meine man muss das hier nur geschickt ausrechnen, weiß aber nicht wie und bekomme keine gschickte lösung hin. wäre echt dankbar wenn mir wer helfen könnte.
MfG Mikke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:41 Mi 11.01.2006 | | Autor: | felixf |
> hallo!
> und zwar habe ich Probleme mit folgender Aufgabe
>
> Es seien A [mm]\in[/mm] M(m x m,K), B [mm]\in[/mm] M(n x n,K) und C [mm]\in[/mm] M(m
> x n,K).
>
> Man soll nun zeigen, dass det [mm]\pmat{ A & C \\ 0 & D }[/mm] =
> det(A)det(B) ist.
D := B? :)
> ich meine man muss das hier nur geschickt ausrechnen, weiß
> aber nicht wie und bekomme keine gschickte lösung hin. wäre
> echt dankbar wenn mir wer helfen könnte.
Am einfachsten geht das mit der Leibniz-Formel (der Summe ueber alle Permutationen in [mm] $S_{n+m}$). [/mm] Du musst dir zuerst ueberlegen, fuer welche Permutationen der Summand sowieso 0 ist. Die restlichen Permutationen lassen sich als Permutationen aus [mm] $S_n$ [/mm] und [mm] $S_m$ [/mm] zusammensetzen, und damit kannst du (mittels Distributivgesetz) das ganze als das Produkt zweier Leibnizformeln schreiben, eine fuer [mm] $\det [/mm] A$ und eine fuer [mm] $\det [/mm] B$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:43 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Mikke |
ui das verstehe ich noch nicht so ganz...
kannst du mir dazu vielelicht noch ein bisschen weitere hilfestellungen geben oder etwas weiter ausführen wie die genaue rechnung geht?
das wäre echt gut danke schon mal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Naja, in die Leibniz-Formel gehen hier ja nur diejenigen Permutationen ein, für die [mm] $\pi(\{1,2,\ldots,m\}) [/mm] = [mm] \{1,2,\ldots,m\}$ [/mm] gilt, die also die ersten $m$ Zahlen nur mit sich selber vertauschen. Insbesondere muss auch [mm] $\pi(\{m+1,\ldots,m+n\}) =\{m+1,\ldots,m+n\}$ [/mm] gelten und der Block rechts oben geht gar nicht in die Formel ein.
Daraus folgt mit der Determinantenmultiplikationsformel:
[mm] $\det\pmat{A & C \\ 0 & B} [/mm] = [mm] \det\pmat{A & 0 \\ 0 & B} [/mm] = [mm] \det\left[\pmat{A & 0\\ 0 & E_n} \cdot \pmat{E_m & 0 \\ 0 & B} \right]= \det\pmat{A & 0\\ 0 & E_n} \cdot \det\pmat{E_m & 0 \\ 0 & B}$.
[/mm]
Aber man macht sich (wiederum mit Leibniz) leicht klar, dass letzteres gerade [mm] $\det(A) \cdot \det(B)$ [/mm] ist...
Liebe Grüße
Stefan
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