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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:11 Mo 26.01.2009 | | Autor: | mathika |
| Aufgabe | Sei [mm] n [/mm] > 0 [mm](n \in \IN)[/mm], [mm]K[/mm] ein Körper und [mm] B \in K^{n \times n}[/mm].
1) Definiere die Abbildung [mm]f_1:K^{n \times n} \to K^{n \times n}[/mm] mit [mm]f_1(A) = BA[/mm]. Bestimme eine darstellende Matrix der Abbildung und die Determinante det [mm]f_1[/mm].
2) Definiere die Abbildung [mm]f_2: K^{n \times n} \to K^{n \times n}[/mm] mit [mm]f_2(A) = AB - BA[/mm]. Zeige: def [mm]f_2 = 0[/mm]. |
Hallo,
ich habe mir bei der ersten Aufgabe überlegt, dass eine darstellende Matrix von [mm]f_1[/mm] doch B sei müsste, oder? Aber reicht es denn zu sagen, dass für jedes i, j [mm]\in \{1, ..., n\}[/mm] gilt: [mm]f_1(a_{ij}) = b_{ij}a_{ij}[/mm] oder wie kann ich das zeigen?
Bei der Determinante komme ich gerade gar nicht drauf wie ich die bestimmen soll. Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar!
Viele Grüße
Mathika
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> Sei [mm]n[/mm] > 0 [mm](n \in \IN)[/mm], [mm]K[/mm] ein Körper und [mm]B \in K^{n \times n}[/mm].
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> 1) Definiere die Abbildung [mm]f_1:K^{n \times n} \to K^{n \times n}[/mm]
> mit [mm]f_1(A) = BA[/mm]. Bestimme eine darstellende Matrix der
> Abbildung und die Determinante det [mm]f_1[/mm].
>
> 2) Definiere die Abbildung [mm]f_2: K^{n \times n} \to K^{n \times n}[/mm]
> mit [mm]f_2(A) = AB - BA[/mm]. Zeige: def [mm]f_2 = 0[/mm].
> Hallo,
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> ich habe mir bei der ersten Aufgabe überlegt, dass eine
> darstellende Matrix von [mm]f_1[/mm] doch B sei müsste, oder?
Hallo,
das kann ja nicht sein:
die darstellende Matrix ist ja imer bzgl irgendwelcher Basen, und sie hat so viele Spalten wie die Dimension des Startraumes ist, und so viele zeilen, wie die Dimension des Raumes, in welchen abgebildet wird, ist.
Du müßtest Dich also erstmal für eine Basis entscheiden, die Standardbasis des Matrizenraumes bietet sich an.
Dann geht's wie immer: in den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren in Koordinaten bzgl der ausgewählten Matrix.
Du kannst das ja erstaml für die Abb. [mm] f:\IR^{2x2}\to \IR^{2x2} [/mm] mit [mm] f(A):=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }A [/mm] duchführen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Mo 26.01.2009 | | Autor: | mathika |
Hallo Angela,
stimmt hast Recht, ich bin noch nicht ganz sicher was das Errechnen von darstellenden Matrizen angeht.
Also die Standardbasis [mm]K^{n \times n}[/mm] ist doch [mm]E_n = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] und das Bild von [mm]E_n[/mm] in deinem Beispiel [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm], ist dann die darstellende Matrix nicht [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm]? Oder muss ich die Vektoren von [mm]E_n[/mm] einzeln betrachten? An der Stelle weiss ich gerade nicht wie ich weiterkomme, denn ich hätte jetzt gedacht dass die darstellende Matrix [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm] also B wäre.
Wo liegt denn hier mein Fehler?
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> Hallo Angela,
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> stimmt hast Recht, ich bin noch nicht ganz sicher was das
> Errechnen von darstellenden Matrizen angeht.
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> Also die Standardbasis [mm]K^{n \times n}[/mm] ist doch [mm]E_n = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
Hallo,
nein. Die Standardbasis des [mm] \IRaumes [/mm] der 2x2- Matrizen über [mm] \IR [/mm] besteht aus vier Matrizen, die jeweils an eienr Stelle eine 1 haben und sonst Nullen. Das ist ein Raum der Dimension 4.
Die Standardbasis ist S:=( [mm] A_1_1:=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, A_1_2:=\pmat{ 0& 1 \\ 0 & 0 }; A_2_1:=\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }; A_2_2:=\pmat{ 0& 0 \\ 0 & 1 })
[/mm]
Ich rechne Dir jetzt vor, wie man die erte Spalte der darstellenden Matrix bekommt:
[mm] f(A_1_1)=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }=\pmat{ 1 & 0 \\ 3 & 0 }=1*A_1_1+0*A_1_2+3*A_2_1+0*A_2_2=\vektor{1\\0\\3\\0}_{(S)}, [/mm] und dieser Vektor ist die erste Spalte der darstellenden Matrix.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Mo 26.01.2009 | | Autor: | mathika |
Hallo,
danke, ich glaube das habe ich jetzt verstanden. Ich habe alle vier Spalten der darstellenden Matrix von deinem Beispiel berechnet und komme dann auf [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
3 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 3 & 0 & 4
\end{pmatrix}[/mm]. Ist das erstmal richtig?
Jetzt muss ich das aber doch verallgemeinern, um eine darstellende Matrix für meine Aufgabenstellung zu bestimmen. Auffällig ist ja, dass die darstellende Matrix im Beispiel zur Hälfte aus Nullen besteht. Und aus [mm]n \* n[/mm] ([mm]n \times n[/mm])-Teilmatrizen, die jeweils Diagonalmatrizen sind.
Aber wie kann ich nun meine darstellende Matrix in Abhängigkeit von B darstellen?
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> Hallo,
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> danke, ich glaube das habe ich jetzt verstanden. Ich habe
> alle vier Spalten der darstellenden Matrix von deinem
> Beispiel berechnet und komme dann auf [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
3 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 3 & 0 & 4
\end{pmatrix}[/mm].
> Ist das erstmal richtig?
Hallo,
ja.
>
> Jetzt muss ich das aber doch verallgemeinern, um eine
> darstellende Matrix für meine Aufgabenstellung zu
> bestimmen. Auffällig ist ja, dass die darstellende Matrix
> im Beispiel zur Hälfte aus Nullen besteht. Und aus [mm]n \* n[/mm]
> ([mm]n \times n[/mm])-Teilmatrizen, die jeweils Diagonalmatrizen
> sind.
> Aber wie kann ich nun meine darstellende Matrix in
> Abhängigkeit von B darstellen?
Aus dem Hut ziehen kann ich das auch nicht. Ich habe auch gar keinene Hut.
Ich würde jetzt so vorgehen, daß ich das erstmal noch für eine konkrete 3x3-Matrix durchgehen würde, und anschließend dann allgemein mit einer matrix [mm] B:=(b_i_j).
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:56 Do 29.01.2009 | | Autor: | mathika |
Hallo,
gut, ich bin nun darauf gekommen, dass in jedem Fall die darstellende Matrix von [mm]f_1[/mm] bezüglich der Standardbasen eine [mm]n^2 \times n^2[/mm]-Matrix bestehend aus [mm]n^2[/mm] [mm](n \times n)[/mm]-Teilmatrizen [mm]B_{ij}[/mm], die jeweils Diagonalmatrizen sind, also das ganze sieht dann so aus:
[mm]
\begin{pmatrix}
B_{11} & \cdots & B_{1n} \\
\vdots & \dots & \vdots \\
B_{n1} & \cdots & B_{nn}
\end{pmatrix}
[/mm]
mit [mm]B_{ij}=[/mm] diag[mm](b_{ij}, \dots, b_{ij})[/mm], [mm]i,j \in \{1, \dots, n \}[/mm]
Soweit ist das ganz schön. Aber wie bestimme ich nun die Determinante von [mm]f_1[/mm]? Ich habe einige Beispiele durchgerechnet, indem ich zum einen den Gauß-Jordan-Eliminationsalgorithmus und zum anderen eine Laplace-Entwicklung benutzt habe, aber ich komme da auf kein allgemeingültiges Ergebnis und das kann ja nicht Ziel der Sache sein.
Oder übersehe ich etwas bei meiner darstellenden Matrix, dass das Bestimmen der Determinante vereinfacht?
Die Leibniz-Formel habe ich nicht angewendet, da ich dachte dass es bei einer [mm](n^2 \times n^2)[/mm]-Matrix sehr unübersichtlich wird.
Viele Grüße und ich hoffe ihr könnt mir noch einmal helfen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 31.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Mo 26.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> 2) Definiere die Abbildung [mm]f_2: K^{n \times n} \to K^{n \times n}[/mm]
> mit [mm]f_2(A) = AB - BA[/mm]. Zeige: def [mm]f_2 = 0[/mm].
Um zu zeigen, dass die Determinante gleich 0 ist, kannst du auch zeigen dass die Abbildung nicht bijektiv ist. Zeige z.B., dass die Einheitsmatrix nicht im Bild liegt.
LG Felix
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