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| Aufgabe | Es seien A, [mm] B\in\IK^{n\times n} [/mm] beliebige quadratische Matrizen über einem Körper [mm] \IK\in\{\IR,\IC\}.Wir [/mm] definieren [mm] p:\IK\to\IK, x\mapsto [/mm] det(A+xB). Zeigen Sie:
a) p ist ein Polynom vom Grad [mm] deg(p)\le [/mm] n
Hinweis: Induktionsbeweis |
Hallo zusammen,
ich habe mir erstmal angeschaut, was diese Abbildung genau macht,
für einen beliebigen Eintrag der Matrix C:=(A+xB) erhält man ja:
[mm] c_{i,j}=a_{i,j}+x\cdot b_{ij}...Jetzt [/mm] habe ich mehr eine anschauliche Argumentation: Wendet man den Laplaceschen Entwicklungssatz an, um die Determinante dieser Matrix C zu bestimmen, erhält man nach dem Algorithmus:
det [mm] C=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}(\underbrace{a_{ij}+x\cdot b_{ij}}_{=grad\le1})\underbrace{det C_{ij}}_{=grad\le(n-1)}
[/mm]
Die Matrix C ist ja jetzt [mm] C\in\IK^{(n-1)\times (n-1)}...Kann [/mm] ich jetzt irgendwie mathematisch sinnvoll argumentieren, dass die Determinante dieser Matrix vom grad [mm] \le [/mm] n sein MUSS? oder muss ich das kleiner aufbauen und sagen: Betrachtet man eine [mm] 2\times [/mm] 2 Matrix muss deren Determinante vom grad [mm] \le [/mm] 2 sein (wie begründe ich das sauber??) und schließe dann induktiv von n-1 auf n?
Wäre sehr dankbar, wenn mir hier jemand weiter helfen könnte!
Liebe Grüße
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Hallo,
meiner Ansicht nach ist deine Begründung schon ausreichend. Man könnte noch dazusagen, dass wenn alle Elemente von B besetzt sind, der Grad des Polynoms genau gleich n ist, sonst u.U. kleiner (je nachdem, wie in B die Nullen platziert sind, könnten bestimmte Potenzen von x in dem Polynom verwschwinden).
Gruß, Diophant
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Danke für die Antwort!
Aber wie genau kann ich induktiv (wie gefordert) beweisen, dass für eine Matrix [mm] \in\IK^{(n-1)\times (n-1)} [/mm] gilt, dass die Determinante gerade ein Polynom vom [mm] grad\le [/mm] n-1 ist? (Also in dieser Aufgabe)?
Gruß
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Hallo,
nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz werden ja in jeder Stufe die Determinanten der Untermatrizen mit einem lineraen Polynom multipliziert. Das erhöht dann den Grad jeweils um 1. Für mich reicht das als Erklärung aus, aber es kann natürlich schon sein, dass du das formal noch sauberer aufschreiben sollst.
Gruß, Diophant
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Also konkret würde ich nun so argumentieren:
Wendet man den Laplaceschen Entwicklungssatz auf eine [mm] n\times [/mm] n Matrix an, erhält man eine Summe aus determinanten von Untermatrizen [mm] \in\IK^{(n-1)\times (n-1)} [/mm] welche dann noch jeweils mit einem Term multipliziert werden, der den Grad [mm] \le [/mm] 1 hat (entweder der Koeffizient hat ein x, oder nicht.)
Auf diese Unterdeterminanten kann ich doch jetzt jeweils wieder Laplace anwenden und erhalte eine Summe von Untermatrizen [mm] \in\IK^{(n-2)\times (n-2)}...usw. \Rightarrow [/mm] induktiv kann ich das doch jetzt solange machen, bis ich bei [mm] 2\times [/mm] 2 matrizen angelangt bin, wobei ich da weiß, dass das rechengesetz:
[mm] det\pmat{ a & b \\ c & 4d }=ad-bc [/mm] gilt. Hier „sieht“ man ja, dass der grad maximal n sein kann, nämlich, wenn die Matrix in jedem Eintrag [mm] \not=0 [/mm] ist. Ist das noch zu unpräzise, oder überhaupt schlüssig so?
Gruß
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Hallo,
so langsam wird es doch. Nur den Teil hier:
> welche dann noch jeweils mit einem Term multipliziert
> werden, der den Grad [mm]\le[/mm] 1 hat (entweder der Koeffizient
> hat ein x, oder nicht.)
verstehe ich nicht. Die Matrix A+x*B ist ja vorgegeben. Das einzige, was dazu führen könnte, dass der Grad des Polynoms ggf. kleiner als n wird, könnte die Matrix B sein. Nimm mal bspw. an, B enthalte in der oberen Zeile und der linken Spalten nur Nullen. Was passiert dann?
Gruß, Diophant
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Hi,
damit meinte ich, dass man bei dem Entwicklungssatz von Laplace doch noch immer den jeweiligen Koeffizienten, der einem Eintrag der Matrix entspricht, hat, also [mm] a_{ij}+xb_{ij} [/mm] hier kommt doch evt auch nochmals ein Term mit x dazu, wenn B an dieser Stelle nicht Null ist?
Bin ich denn mit meiner Argumentation „berechtigt“ von der 2x2 Matrix nach oben zu schließen, um zu sagen, dass dann jede Matrix n x n vom Grad [mm] grad\le [/mm] n sein muss?
Gruß
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Hallo,
ich denke, du meinst schon das richtige, du drückst es nur noch etwas ungeschickt aus. Das aus der Determinante resultierende Polynom hat maximal den Grad n, und deine Argumentation ist IMO richtig.
Gruß, Diophant
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