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| Aufgabe | Bilden die Vektoren a1= (1, 1, 1) a2= (1, 0, 1), a3= (1, 0, 1)
eine Basis des [mm] \IZ^{3}_{2}?
[/mm]
Lässt sich a = (1, 0, 0) Als Linearkombination dieser Vektoren schreiben? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Durch Berechnung der Determinante (-1), komme ich zum Ergebnis, dass die Vektoren linear unabhängig sind. Und wenn ich das richtig verstanden habe, müssen die Vektoren linear unabhängig sein und es müssen 3 Vektoren sein um Basis des [mm] \IZ^{3} [/mm] zu sein (bitte berichtigen, falls ich falsch liege),
also denke ich, das die 3 Vektoren Basis des [mm] \IZ^{3}_{2} [/mm] sind.
Jetzt zu a = (1, 0, 0)
Ich glaube nicht, dass sich dieser Vektor als LK der anderen beiden schreiben lässt. Bei der Begründung hapert's aber.
Reicht es, wenn ich sage: a kann nicht als LK der Vektoren a1, a2, a3 geschrieben werden, da diese Basis des [mm] \IZ^{3}_{2} [/mm] sind?
Vielen Dank schonmal
Hmm, vielleicht hätte ich diese Frage in einem anderen Unterforum posten sollen, sorry dafür.
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> Bilden die Vektoren a1= (1, 1, 1) a2= (1, 0, 1), a3= (1, 0, 1)
> eine Basis des [mm]\IZ^{3}_{2}?[/mm]
Hallo,
irgendetwas ist hier schiefgegangen, denn [mm] a_2 [/mm] und [mm] a_3 [/mm] sind gleich. Natürlich ist das in dem Fall dann keine Basis...
> Lässt sich a = (1, 0, 0) Als Linearkombination dieser
> Vektoren schreiben?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Durch Berechnung der Determinante (-1), komme ich zum
> Ergebnis, dass die Vektoren linear unabhängig sind. Und
> wenn ich das richtig verstanden habe, müssen die Vektoren
> linear unabhängig sein und es müssen 3 Vektoren sein um
> Basis des [mm]\IZ^{3}[/mm]
Ja.
> zu sein (bitte berichtigen, falls ich
> falsch liege),
> also denke ich, das die 3 Vektoren Basis des [mm]\IZ^{3}_{2}[/mm]
> sind.
s.o.
>
> Jetzt zu a = (1, 0, 0)
> Ich glaube nicht, dass sich dieser Vektor als LK der
> anderen beiden schreiben lässt.
Das paßt allerdings gar nicht zu Deiner Meinung, daß Du eine Basis gefunden hast!
Eine Basis ist doch ein kleinstmögliches Erzeugendensystem.
> Bei der Begründung
> hapert's aber.
> Reicht es, wenn ich sage: a kann nicht als LK der Vektoren
> a1, a2, a3 geschrieben werden, da diese Basis des
> [mm]\IZ^{3}_{2}[/mm] sind?
Oh gottogott.
Arbeite unbedingt die Themen linear (un)abhängig, Basis, Erzeugendensystem, Dimension nach.
LG Angela
>
> Vielen Dank schonmal
>
> Hmm, vielleicht hätte ich diese Frage in einem anderen
> Unterforum posten sollen, sorry dafür.
>
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Argh, das passiert, wenn man den ganzen Tag nichts anderes macht und hundemüde ist.
a2= (1, 1, 0)
a3= (1, 0, 1)
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Na, immerhin lag ich nicht bei allem total daneben.... :)
Naja, ich versuche mir die Sachen im Eigenstudium beizubringen, so ein Forum wie dieses ist für mich Gold wert.
Also heißt das, dass sich (1, 0, 0) sehr wohl als LK der Vektoren schreiben lässt?
Leider sehe ich nicht, welche Zahlen man einsetzen kann...
k1 [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + k2 [mm] \vektor{ 1\\ 1 \\ 0 } [/mm] + k3 [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Die Lösung in meinem Buch, hilft mir auch nur bedingt weiter:
Basis; a = a1 + a2 + a3
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> Argh, das passiert, wenn man den ganzen Tag nichts anderes
> macht und hundemüde ist.
>
[mm] a_1=(1,1,1)
[/mm]
> a2= (1, 1, 0)
> a3= (1, 0, 1)
Hallo,
ja, dann sieht die Sache anders aus.
Das ist eine Basis, denn es sind drei linear unabhängige Vektoren des zu betrachtenden, dreidimensionalen Raumes.
>
> Also heißt das, dass sich (1, 0, 0) sehr wohl als LK der
> Vektoren schreiben lässt?
Wenn das da oben eine Basis ist, muß es funktionieren.
>
> Leider sehe ich nicht, welche Zahlen man einsetzen kann...
>
> k1 [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] + k2 [mm]\vektor{ 1\\ 1 \\ 0 }[/mm] + k3 [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Du hast doch hier ein (inhomogenes) LGS aus drei Gleichungen mit drei Variablen.
Dieses ist in [mm] \IZ_2 [/mm] zu lösen, z.B. mit Gauß.
>
>
>
> Die Lösung in meinem Buch, hilft mir auch nur bedingt
> weiter:
>
> Basis; a = a1 + a2 + a3
Aber Du erkennst, daß in der Tat [mm] a=a_1+a_2+a_3 [/mm] richtig ist, oder?
LG Angela
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Mi 10.07.2013 | | Autor: | Ultramann |
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Ich war gestern zu müde um weiter zu machen.
Ich kann mich gar nicht häufig genug bedanken.
Für mich sieht
"a = a1 + a2 + a3"
eher wie die Aufgabenstellung aus und nicht wie die Lösung.
In der Aufgabenstellung steht u.a. "Lässt sich a = (1, 0, 0) als LK dieser Vektoren schreiben? (Geben Sie diese Linearkombination gegebenfalls an.)
Das sieht für mich so aus, als sei es nicht zwingend notwendig k1, k2 und k3 zu bestimmen um auf die Lösung "a = a1 + a2 + a3" zu kommen.
Ich stehe voll auf dem Schlauch. Ich habe keine HA oder dergleichen abzugeben, deshalb bettle ich hier nicht um Musterlösungen. :)
Will es einfach verstehen.
Hat die Lösung irgendwas damit zu tun, dass wir uns in einem binären Zahlensystem befinden?
Entschuldigung für den Doppelpost, muss das System hier erstmal verstehen.
Vielen lieben Dank nochmal
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Hallo,
> Für mich sieht
>
> "a = a1 + a2 + a3"
>
> eher wie die Aufgabenstellung aus und nicht wie die
> Lösung.
>
> In der Aufgabenstellung steht u.a. "Lässt sich a = (1, 0,
> 0) als LK dieser Vektoren schreiben? (Geben Sie diese
> Linearkombination gegebenfalls an.)
>
> Das sieht für mich so aus, als sei es nicht zwingend
> notwendig k1, k2 und k3 zu bestimmen um auf die Lösung "a
> = a1 + a2 + a3" zu kommen.
Na, was wurde hier denn sonst getan?
Die haben ausgerechnet, daß
[mm] k_1=k_2=k_3=1
[/mm]
eine Lösung von
a = [mm] k_1a_1 [/mm] + [mm] k_2a_2 [/mm] + [mm] k_3a_3
[/mm]
ist.
>
> Ich stehe voll auf dem Schlauch.
Wo genau ist jetzt das Problem?
Hast Du das LGS gelöst?
Mit welchem Ergebnis?
LG Angela
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Das LGS hatte ich noch nicht gelöst, bzw. angefangen mit Gauß, aber abgebrochen, da ich glaubte/glaube, dass es eher ein Verständnisproblem ist. Kein rechnerisches.
Hmm... Aaaaaalso, wenn k1 = k2 = k3 = 1, dann müsste da ja sowas stehen:
1*1 + 1*1 + 1*1 = 11
1*1 + 1*1 = 10
1*1 + 1*1 = 10
Also [mm] \vektor{11 \\ 10 \\ 10}
[/mm]
und das ist doch ungleich [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Mi 10.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das LGS hatte ich noch nicht gelöst, bzw. angefangen mit
> Gauß, aber abgebrochen, da ich glaubte/glaube, dass es
> eher ein Verständnisproblem ist. Kein rechnerisches.
>
> Hmm... Aaaaaalso, wenn k1 = k2 = k3 = 1, dann müsste da ja
> sowas stehen:
>
> 1*1 + 1*1 + 1*1 = 11
Du schreibst hier nur die Zahl [mm] $3\,$ [/mm] in Binärdarstellung - das ist aber Unsinn.
Darum geht es nicht. [mm] $\IZ_2$ [/mm] ist ein Körper, auch bekannt als [mm] $\IF_2\,.$ [/mm] (Weil 2 prim
ist.) Es gilt
[mm] $\IZ_2=\{\overline{x}: x \in \IZ\}$
[/mm]
mit
[mm] ${^2\overline{x}}:=\overline{x}:=x+2*\IZ:=\{x+2k:\;\;k \in \IZ\}$ [/mm] für $x [mm] \in \IZ\,.$
[/mm]
Damit ist [mm] $\{0,1\}$ [/mm] ein vollständiges Repräsentantensystem für [mm] $\IZ_2\,$:
[/mm]
[mm] $\IZ_2=\{\overline{0},\overline{1}\}$
[/mm]
Außerdem darf man rechnen (das heißt, es werden Rechenoperationen
definiert und diese sind wohldefiniert!)
[mm] $\overline{x}+\overline{y}:=\overline{x+y}$
[/mm]
sowie
[mm] $\overline{x}*\overline{y}:=\overline{x*y}$ [/mm] für $x,y [mm] \in \IZ\,.$
[/mm]
Und hier habe ich, siehe andere Antwort, einfach [mm] $0\,$ [/mm] bzw. [mm] $1\,$ [/mm] statt [mm] $\overline{0}$ [/mm] bzw.
[mm] $\overline{1}$ [/mm] geschrieben.
Ein gutes Buch, wo Du im Kapitel 5 ff. diese Grundlagen findest:
Elementare und algebraische Zahlentheorie, Piontkowski und Müller-Stach
Jetzt mal ein wenig weniger mathematisch:
Du kannst Dir [mm] $\IZ_2$ [/mm] so vorstellen, dass Du Dich bzgl. (Ergebnissen von)
Rechenoperationen mit ganzen Zahlen immer fragst, ob das Ergebnis
gerade (=0) oder ungerade (=1) ist - das passiert durch die "Überstrich"
-Operation (das passt so aber nur für [mm] $\IZ_2$).
[/mm]
Ähnlich bzw. analog: Du kennst sicher sowas wie: 1=Strom fließt, 0=Stromfluss unterbrochen
Also Beispiel: Was ist $1+1+1$ in [mm] $\IZ_2$?
[/mm]
Es gilt hier
$1+1+1$
steht für
[mm] $\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}=\overline{1+1+1}=\overline{3}=\overline{1}\,.$
[/mm]
In etwas unsauberer Kurznotation
$1+1+1=3=1$ in [mm] $\IZ_2\,.$
[/mm]
Zur Rechnung:
[mm] $\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}=\overline{1+1+1}=\overline{3}=\overline{1}$
[/mm]
kannst Du i.W. einfach lesen als
ungerade+ungerade+ungerade=ungerade
Ausführlicher:
[mm] $\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}=(\overline{1}+\overline{1})+\overline{1}=\overline{2}+\overline{1}=\overline{0}+\overline{1}=\overline{0+1}=\overline{1}$
[/mm]
bedeutet nichts anderes als
ungerade+ungerade+ungerade=(ungerade+ungerade)+ungerade=gerade+ungerade=ungerade
Entsprechend gilt in [mm] $\IZ_2$ [/mm] halt
$3*4+7=1$
weil
ungerade [mm] $\cdot$ [/mm] gerade+ungerade=gerade+ungerade=ungerade
ist. Wenn Du es konkret ausrechnest:
$3*4+7=12+7=19$
ist tatsächlich ungerade!
P.S. Schau mal in ![[]](/images/popup.gif) Beispiel 2.5, 2. (klick!)
Dort steht eigentlich alles Wesentliche zu [mm] $\IZ_2\,.$ [/mm] Du müßtest halt etwa
[mm] $oh=\overline{0}$ [/mm] und [mm] $ei=\overline{1}$ [/mm] beachten, sowie [mm] $oh=\overline{g}$ [/mm] für jede gerade ganze Zahl
und [mm] $ei=\overline{u}$ [/mm] für jede ungerade ganze Zahl!
P.P.S. Dass
[mm] $(^2\overline{g}=)\;\;\;\;\overline{g}=\overline{0}$
[/mm]
für jedes gerade $g [mm] \in \IZ$ [/mm] gilt: Wie beweist man das wohl (elementarst)?
(Erinnerung: $A=B [mm] :\iff [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \wedge [/mm] B [mm] \subseteq A\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 Mi 10.07.2013 | | Autor: | Ultramann |
Es lag am [mm] \IZ_2 [/mm]
Wow. Vielen Dank.
Super ausführliche Antwort und dank der weniger mathematischen Antwort, habe selbst ich das verstanden.
Danke. Auch an das andere Mitglied nochmal.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 Mi 10.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
gern geschehen. Übrigens ist Deine Idee mit der Binärdarstellung auch nicht
ganz schlecht:
Die letzte Ziffer in Binärdarstellung beim Ergebnis passt ja eben zu dem, was
man in [mm] $\IZ_2$ [/mm] mit $0$ (bzw. genauer: [mm] $\overline{0}$) [/mm] bzw. [mm] $1\,$ [/mm] (genauer: [mm] $\overline{1}$) [/mm] meint.
So sieht ja etwa die Binärdarstellung von
1+2=3
so aus, dass man
[mm] $1+10=1\red{1}$ [/mm] (Achtung: hier stehen die Zahlen in Binärdarstellung, es ist nicht(!!) Eins+Zehn=Elf gemeint, sondern immer noch Eins+Zwei=Drei!)
rechnet und [mm] $\red{1}$ [/mm] ist genau das, was man in [mm] $\IZ_2$ [/mm] raushat:
$1+2=3=1$ in [mm] $\IZ_2\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Mi 10.07.2013 | | Autor: | Ultramann |
Ja, das war mir auch aufgefallen :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Mi 10.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich war gestern zu müde um weiter zu machen.
> Ich kann mich gar nicht häufig genug bedanken.
>
> Für mich sieht
>
> "a = a1 + a2 + a3"
>
> eher wie die Aufgabenstellung aus und nicht wie die
> Lösung.
nein. Was für ein GLS hat man denn zu lösen, wenn man sich mit [mm] $a_1:=(1,1,1),\,$ [/mm]
[mm] $a_2:= [/mm] (1, 1, 0)$ und [mm] $a_3:= [/mm] (1, 0, 1)$ fragt, ob sich $a:=(1,0,0)$ als LK der [mm] $a_1,$ $a_2$ [/mm] und [mm] $a_3$ [/mm] schreiben läßt?
Das bedeutet (hier) doch:
Gibt es [mm] $k_1,k_2,k_3 \in \textbf{\red{ ?}}$ [/mm] (was gehört anstelle des roten Fragezeichens
da hin) so, dass
$a=...$??? (Ergänze das bitte!)
> In der Aufgabenstellung steht u.a. "Lässt sich a = (1, 0,
> 0) als LK dieser Vektoren schreiben? (Geben Sie diese
> Linearkombination gegebenfalls an.)
>
> Das sieht für mich so aus, als sei es nicht zwingend
> notwendig k1, k2 und k3 zu bestimmen um auf die Lösung "a
> = a1 + a2 + a3" zu kommen.
Na, wenn man [mm] $a=a_1+a_2+a_3$ [/mm] sieht, dann weiß man, dass [mm] $(k_1,k_2,k_3)=...$? [/mm] (ergänze das bitte!)
geeignet ist!
> Ich stehe voll auf dem Schlauch. Ich habe keine HA oder
> dergleichen abzugeben, deshalb bettle ich hier nicht um
> Musterlösungen. :)
> Will es einfach verstehen.
>
> Hat die Lösung irgendwas damit zu tun, dass wir uns in
> einem binären Zahlensystem befinden?
Natürlich hat das auch damit etwas zu tun: Hier gilt doch etwa
[mm] $1+1+1=(1+1)+1=0+1=1\,,$
[/mm]
und so siehst Du schon, dass die Summe der ersten Komponenten der
[mm] $a_j$ [/mm] ($j=1,2,3$) gerade die erste Komponente von [mm] $a\,$ [/mm] ergibt.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Mi 10.07.2013 | | Autor: | Ultramann |
Ich war gestern zu müde um weiter zu machen.
Ich kann mich gar nicht häufig genug bedanken.
Für mich sieht
"a = a1 + a2 + a3"
eher wie die Aufgabenstellung aus und nicht wie die Lösung.
In der Aufgabenstellung steht u.a. "Lässt sich a = (1, 0, 0) als LK dieser Vektoren schreiben? (Geben Sie diese Linearkombination gegebenfalls an.)
Das sieht für mich so aus, als sei es nicht zwingend notwendig k1, k2 und k3 zu bestimmen um auf die Lösung "a = a1 + a2 + a3" zu kommen.
Ich stehe voll auf dem Schlauch. Ich habe keine HA oder dergleichen abzugeben, deshalb bettle ich hier nicht um Musterlösungen. :)
Will es einfach verstehen.
Hat die Lösung irgendwas damit zu tun, dass wir uns in einem binären Zahlensystem befinden?
Vielen lieben Dank nochmal
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