Determinanten bei Basiswechsel < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:46 Di 04.03.2014 | | Autor: | Kupfer34 |
| Aufgabe | | Es sei V ein endlich dimensionaler K-VR, [mm]\phi\in GL(V)[/mm] und S,T Basen von V. Welche Bedingung muss die Determinante der Basiswechselmatrix [mm]C_T,_S [/mm] erfüllen, damit die det [mm]D_S,_S(\phi)=2 det D_T,_S(\phi) gilt?[/mm] |
Hallo,
ich verzweifel etwas an dieser Aufgabe.
Ich habe mir bereits soweit klar gemacht, dass die Basiswechselmatrix [mm]C_T,_S [/mm] die Transformationsmatrix von S nach T sein müsste.
Mein Problem bei der Aufgabe ist, dass ich nicht versteh was mit den Determinanten [mm]D_S,_S(\phi)=2 det D_T,_S(\phi) [/mm] definiert ist??? Sind diese diagonalisiert?
Ich habe die Frage auch in einem anderen Forum gestellt, jedoch konnte mir dort keiner so richtig eine Erklärung geben, die auch Sinn für mich macht.
Bitte helft mir.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=192443&post_id=1417713
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Hallo Kupfer,
das ist ja alles ein bisschen wirr.
> Es sei V ein endlich dimensionaler K-VR, [mm]\phi\in GL(V)[/mm] und
> S,T Basen von V. Welche Bedingung muss die Determinante der
> Basiswechselmatrix [mm]C_T,_S[/mm] erfüllen, damit die det
> [mm]D_S,_S(\phi)=2 det D_T,_S(\phi) gilt?[/mm]
> Hallo,
> ich verzweifel etwas an dieser Aufgabe.
> Ich habe mir bereits soweit klar gemacht, dass die
> Basiswechselmatrix [mm]C_T,_S[/mm] die Transformationsmatrix von S
> nach T sein müsste.
Klar, denn Basiswechselmatrix = Transformationsmatrix. Das sind ja nur Synonyme.
>
> Mein Problem bei der Aufgabe ist, dass ich nicht versteh
> was mit den Determinanten [mm]D_S,_S(\phi)=2 det D_T,_S(\phi)[/mm]
> definiert ist??? Sind diese diagonalisiert?
Was heißt denn: "Determinante diagonialisiert?"
Du musst auch mal sagen, was $D$ sein soll. Ich nehme mal an, dass soll die Abbildung [mm] \phi [/mm] darstellen, oder?
Also [mm] D\in\IK^{n\times{n}}. [/mm] Dann wird alles bisschen übersichtlicher.
So, nun sei also die Matrix D in der Darstellung bzgl der Basis S, das schreiben wir dann also als [mm] D_{S,S}.
[/mm]
Nun verrate uns doch mal das Transformationsgesetz um in die andere Basis zu gelangen. Kannst du uns das mal hier aufschreiben. Danach müsstest du doch nur noch die vorgegebene Gleichung
[mm] \det{}D_{S,S}(\phi)=2\det{}D_{T,S}(\phi)
[/mm]
ausnutzen.
>
> Ich habe die Frage auch in einem anderen Forum gestellt,
> jedoch konnte mir dort keiner so richtig eine Erklärung
> geben, die auch Sinn für mich macht.
>
> Bitte helft mir.
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=192443&post_id=1417713
>
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Di 04.03.2014 | | Autor: | Kupfer34 |
Hallo,
das Transformationsgesetz lautet doch so, dass man die Vektoren der Basis S als Linearkombination der Basis T darstellt und umgekehrt.
dh es wären die Vektoren [mm] \{s_1,...,s_n\} [/mm] für die Basis S und [mm] \{t_1,...,t_m\} [/mm] für die Basis von T, also
> Du musst auch mal sagen, was [mm]D[/mm] sein soll. Ich nehme mal an,
> dass soll die Abbildung [mm]\phi[/mm] darstellen, oder?
Ich weis leider selbst nicht was D sein soll, das wird mir nicht deutlich aus der Aufgabe. Aber das mit der Abbildung klingt verständlich. > Hallo Kupfer,
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> Hallo,
> das Transformationsgesetz lautet doch so, dass man die
> Vektoren der Basis S als Linearkombination der Basis T
> darstellt und umgekehrt.
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> dh es wären die Vektoren [mm]\{s_1,...,s_n\}[/mm] für die Basis S
> und [mm]\{t_1,...,t_m\}[/mm] für die Basis von T, also
Man nutzt dafür Matrizen, um das gut darzustellen.
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_%28Vektorraum%29#Basiswechsel_bei_Abbildungsmatrizen
Die Basiswechselmatrix ist dir ja als [mm] C_{S,T} [/mm] gegeben. Die frage ist also, wie erhältst du aus [mm] D_{S,S} [/mm] die Form [mm] D_{S,T} [/mm] ?
Das geht eben mit der Basiswechselmatrix.
Schreib das doch mal auf. Also
[mm] D_{S,T}=...
[/mm]
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> > Du musst auch mal sagen, was [mm]D[/mm] sein soll. Ich nehme mal an,
> > dass soll die Abbildung [mm]\phi[/mm] darstellen, oder?
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> Ich weis leider selbst nicht was D sein soll, das wird mir
> nicht deutlich aus der Aufgabe. Aber das mit der Abbildung
> klingt verständlich. > Hallo Kupfer,
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Di 04.03.2014 | | Autor: | Kupfer34 |
ich bin damit grad überfordert... was soll ich jetzt machen? ich hab doch nur den Vektorraum V gegeben und dort sind aber mehrere angegeben...
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> ich bin damit grad überfordert... was soll ich jetzt
> machen? ich hab doch nur den Vektorraum V gegeben und dort
> sind aber mehrere angegeben...
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Da steht ja nicht, daß die Vektorräume zwingend verschieden sein müssen.
Sie sind halt alle =V.
Ist damit Dein Problem gelöst?
Ich fürchte: nein...
Aus dem, was Du schreibst, befürchte ich auch, daß nicht die gestellte Aufgabe das Problem ist, sondern eher, daß Du die ihr zugrundeliegenden Definitionen, Sätze und "Tatbestände" Dir noch nicht in ausreichendem Maße erarbeitet hast.
Das kann Dir keiner abnehmen.
Falls ich Deine Notation richtig verstehe, dann ist
[mm] D_{S;S}=C_{T;S}*D_{S;T}
[/mm]
Also ist
[mm] det(D_{S;S})=det(C_{T;S}*D_{S;T}),
[/mm]
und wenn Du die wesentlichen Eigenschaften der Determinante kennst, springt Dir die Lösung nun in die Arme.
LG Angela
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