Determinantenabbildung < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei K ein Körper und sei [mm] d:k^{nxn} \to [/mm] K eine Abbildung, welche die Determinantenbedingung D1 linear in jeder Zeile und D2 alternierend erfüllt.
Dann gilt für alle A [mm] \in K^{nxn} [/mm] d(A)=d(I)⋅det(A) |
Ich brauche mal wieder dringend eure Hilfe. Ich habe die Frage in keinen anderen Forum gestellt. Ich bin mir nicht sicher, ob meine Ausarbeitung meiner Aufgabe richtig ist. Könnt ihr mir das mal korrigieren?
Beweis:
Sei [mm] A:=(a_{ij}) [/mm] und I:= [mm] (e_{ij}) [/mm] die Einheitsmatrix
Durch die Bedingungen D1,D2
können wir mit Hilfe von Aufgabe ...
[mm] d(I)=d(A*A^{-1}) [/mm] = [mm] d(A)*d(A^{-1}) [/mm] ⇒ d(A) und [mm] d(A^{-1}) [/mm] sind nicht Null angewendet auf diesen Fall wäre
[mm] d(I)=d(A*det(A^{-1}))=d(A)*det(A^{-1}) [/mm] ⇒ d(A) und [mm] det(A^{-1}) [/mm] ≠0 somit wissen wir das A inveriterbar ist da det(A) ≠ 0
ebenfalls folgt aus d(A) ≠ 0 und det(A)≠0 das d(I)=1 sein muss
demnach kann man mit also gilt d(A)=det(A)⇒d(A)=d(I)*det(A)
LG DerPinguinagent
PS: Sitze schon mit meinem Kollegen seit 3 Tagen an dieser Aufgabe und müssen die morgen abgeben und brauchen dringend, wirklich dringend, eure kompetente Hilfe.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Di 19.01.2016 | | Autor: | Johnny1994 |
Kann mir wirklich niemand helfen?
LG Johnny
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 Di 19.01.2016 | | Autor: | Johnny1994 |
Aufgabe gelöst, vielen Dank für eure Hilfe!
LG Johnny
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Di 19.01.2016 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei K ein Körper und sei [mm]d:k^{nxn} \to[/mm] K eine Abbildung,
> welche die Determinantenbedingung D1 linear in jeder Zeile
> und D2 alternierend erfüllt.
Was sind denn D1 und D2?
> Dann gilt für alle A [mm]\in K^{nxn}[/mm] d(A)=d(I)⋅det(A)
>
> Ich brauche mal wieder dringend eure Hilfe. Ich habe die
> Frage in keinen anderen Forum gestellt. Ich bin mir nicht
> sicher, ob meine Ausarbeitung meiner Aufgabe richtig ist.
> Könnt ihr mir das mal korrigieren?
>
>
> Beweis:
>
> Sei [mm]A:=(a_{ij})[/mm] und I:= [mm](e_{ij})[/mm] die Einheitsmatrix
>
> Durch die Bedingungen D1,D2
>
> können wir mit Hilfe von Aufgabe ...
Was für eine Aufgabe?
> [mm]d(I)=d(A*A^{-1})[/mm] = [mm]d(A)*d(A^{-1})[/mm] ⇒ d(A) und [mm]d(A^{-1})[/mm]
Seit wann ist $A$ invertierbar?
LG Felix
> sind nicht Null angewendet auf diesen Fall wäre
>
> [mm]d(I)=d(A*det(A^{-1}))=d(A)*det(A^{-1})[/mm] ⇒ d(A) und
> [mm]det(A^{-1})[/mm] ≠0 somit wissen wir das A inveriterbar ist da
> det(A) ≠ 0
>
> ebenfalls folgt aus d(A) ≠ 0 und det(A)≠0 das d(I)=1
> sein muss
>
> demnach kann man mit also gilt
> d(A)=det(A)⇒d(A)=d(I)*det(A)
>
> LG DerPinguinagent
>
> PS: Sitze schon mit meinem Kollegen seit 3 Tagen an dieser
> Aufgabe und müssen die morgen abgeben und brauchen
> dringend, wirklich dringend, eure kompetente Hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:28 Mi 20.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei K ein Körper und sei [mm]d:k^{nxn} \to[/mm] K eine Abbildung,
> welche die Determinantenbedingung D1 linear in jeder Zeile
> und D2 alternierend erfüllt.
>
> Dann gilt für alle A [mm]\in K^{nxn}[/mm] d(A)=d(I)⋅det(A)
>
> Ich brauche mal wieder dringend eure Hilfe. Ich habe die
> Frage in keinen anderen Forum gestellt. Ich bin mir nicht
> sicher, ob meine Ausarbeitung meiner Aufgabe richtig ist.
> Könnt ihr mir das mal korrigieren?
>
>
> Beweis:
>
> Sei [mm]A:=(a_{ij})[/mm] und I:= [mm](e_{ij})[/mm] die Einheitsmatrix
>
> Durch die Bedingungen D1,D2
>
> können wir mit Hilfe von Aufgabe ...
>
> [mm]d(I)=d(A*A^{-1})[/mm] = [mm]d(A)*d(A^{-1})[/mm] ⇒ d(A) und [mm]d(A^{-1})[/mm]
Felix wollte das auch schon wissen: wieso ist A invertierbar ?
Oder anders formuliert: Du musst auch nichtinvertierbare Matrizen betrachten.
> sind nicht Null angewendet auf diesen Fall wäre
>
> [mm]d(I)=d(A*det(A^{-1}))=d(A)*det(A^{-1})[/mm] ⇒ d(A)
Woher kommt das erste "=" ???? Das zweite "=" ist wohl auch eine Erfindung von Dir .
Du bekommst dann d(I)=d(A). Fällt Dir da nicht auf, dass da gewaltig was in die Hose geht ?
> und
> [mm]det(A^{-1})[/mm] ≠0 somit wissen wir das A inveriterbar ist da
> det(A) ≠ 0
Häää ?! Von Anfang an schreibst Du [mm] A^{-1}, [/mm] gehst also die ganze Zeit von einer invertierbaren Matrix A aus. Aber jetzt erst wissen wir , dass A invertierbar ist ????
>
> ebenfalls folgt aus d(A) ≠ 0 und det(A)≠0 das d(I)=1
> sein muss
Ach was ? Wieso ??
>
> demnach kann man mit also gilt
.... " demnach kann man mit also gilt " ....... Puuuhh ! Was für ein Chaos.
FRED
> d(A)=det(A)⇒d(A)=d(I)*det(A)
>
> LG DerPinguinagent
>
> PS: Sitze schon mit meinem Kollegen seit 3 Tagen an dieser
> Aufgabe und müssen die morgen abgeben und brauchen
> dringend, wirklich dringend, eure kompetente Hilfe.
|
|
|
| |
|
> Sei K ein Körper und sei [mm]d:k^{nxn} \to[/mm] K eine Abbildung,
> welche die Determinantenbedingung D1 linear in jeder Zeile
> und D2 alternierend erfüllt.
>
> Dann gilt für alle A [mm]\in K^{nxn}[/mm] d(A)=d(I)⋅det(A)
>
> Ich brauche mal wieder dringend eure Hilfe. Ich habe die
> Frage in keinen anderen Forum gestellt. Ich bin mir nicht
> sicher, ob meine Ausarbeitung meiner Aufgabe richtig ist.
> Könnt ihr mir das mal korrigieren?
Hallo,
nein, das kann man nicht korrigieren,
man muß komplett neu beginnen.
Betrachten wir die Matrix A mit den Zeilen [mm] a_1 [/mm] bis [mm] a_n,
[/mm]
also [mm] A=\vektor{a_1\\...\\a_n}.
[/mm]
Bezeichnen wir die Standardzeilenvektoren mit [mm] e_1,...,e_n,
[/mm]
so bekommen wir
Es ist [mm] a_1=(a_1_1e_1+a_1_2e_2+...+a_1_ne_n)=\summe_{i=1}^na_1_ie_i,
[/mm]
die anderen entsprechend,
also
[mm] a_j=\summe_{i=1}^na_j_ie_i.
[/mm]
Damit ist [mm] A=(\summe_{i=1}^na_1_ie_i,\summe_{i=1}^na_2_ie_i,...,\summe_{i=1}^na_n_ie_i)
[/mm]
Um d(A) zu berechnen, mußt Du nun die Multilinearität D1 ausnutzen.
Du bekommst dann eine Summe, deren Summanden von der Bauart
c*d(Matrix, deren Zeilen Einheitsvektoren sind).
Weil d alternierend ist, fallen von diesen Summanden all die weg, bei denen die Matrix gleiche Zeilen enthält.
Wenn Du dann noch weißt, wie man det(A) ausrechnet (Laplace), bist Du so gut wie am Ziel.
LG Angela
>
>
> Beweis:
>
> Sei [mm]A:=(a_{ij})[/mm] und I:= [mm](e_{ij})[/mm] die Einheitsmatrix
>
> Durch die Bedingungen D1,D2
>
> können wir mit Hilfe von Aufgabe ...
>
> [mm]d(I)=d(A*A^{-1})[/mm] = [mm]d(A)*d(A^{-1})[/mm] ⇒ d(A) und [mm]d(A^{-1})[/mm]
> sind nicht Null angewendet auf diesen Fall wäre
>
> [mm]d(I)=d(A*det(A^{-1}))=d(A)*det(A^{-1})[/mm] ⇒ d(A) und
> [mm]det(A^{-1})[/mm] ≠0 somit wissen wir das A inveriterbar ist da
> det(A) ≠ 0
>
> ebenfalls folgt aus d(A) ≠ 0 und det(A)≠0 das d(I)=1
> sein muss
>
> demnach kann man mit also gilt
> d(A)=det(A)⇒d(A)=d(I)*det(A)
>
> LG DerPinguinagent
>
> PS: Sitze schon mit meinem Kollegen seit 3 Tagen an dieser
> Aufgabe und müssen die morgen abgeben und brauchen
> dringend, wirklich dringend, eure kompetente Hilfe.
|
|
|
|
