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Hallo Zusammen.
geg: [mm] A:=\pmat{ 0&0&0&0&1 \\ 0&0&0&5&1\\0&0&3&1&2\\0&4&0&3&4\\6&2&3&1&2 }
[/mm]
Habe zur Probe mal über die erste Spalte entwickelt.
1. Schritt:
|A|= 6 * [mm] \vmat{ 0&0&0&1\\0&0&5&1\\0&3&1&2\\4&0&3&4}
[/mm]
2. Schritt:
|A|= [mm] 6*4*\vmat{ 0&0&1\\ 0&5&1\\3&1&2}
[/mm]
3. Schritt:
[mm] |A|=6*4*3*\vmat{ 0 & 1 \\ 5 & 1}
[/mm]
Hört man nun nach dem 3. Schritt auf weiterzuentwickeln und berechnet die Determinante am Ende direkt, erhält man:
|A|=6*4*3*(-5)=-360
1. Wird der hier nun berechnete Wert positiv, weil die Faktoren von unten links nach oben rechts auf der Hauptdiagonalen aufstreben?
Führt man die Entwicklung nach 1 Spalte wieder durch erhält man das korrekte Ergebnis:
4. Schritt:
|A|=6*4*3*5*|1|= 360
2. In welchen Fällen a)-d) ergibt sich die Determinante einer Matrix eigentlich aus dem Produkt der Diagonaleinträge: a)obere linke Hälfte hat Einträge >0, untere Rechte nur Nullen b) obere rechte Hälfte hat Einträge>0, untere linke Hälfte hat nur Nullen c) untere linke Hälfte hat Einträge>0, obere rechte Hälfte hat nur Nullen d) untere rechte Hälfte hat Einträge>0, obere linke Hälfte hat nur Nullen (s.o.) ?
Danke Euch im Voraus,
Gruß, Peter! 
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Im zweiten Schritt hast du einen Vorzeichenfehler. Gemäß dem Schachbrettmuster liefert der Laplacesche Entwicklungssatz dort ein negatives Vorzeichen. Derselbe Vorzeichenfehler passiert dann noch einmal im vierten Schritt.
Hier würde ich übrigens einen ganz anderen Weg vorschlagen. Vertausche die erste und die fünfte Zeile (Vorzeichenwechsel), ebenso die zweite und die vierte (erneuter Vorzeichenwechsel hebt alten auf). Dann bekommst du eine obere Dreiecksmatrix. Und deren Determinante ist das Produkt der Diagonalelemente.
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Hallo Peter_Pan!
Die beiden Fehler (ich hatte ihn sogar nur an einer Stelle gesehen...) hat Leopold dir ja schon genannt. Nun noch zu deinen weiteren Fragen:
> 2. In welchen Fällen a)-d) ergibt sich die Determinante
> einer Matrix eigentlich aus dem Produkt der
> Diagonaleinträge: a)obere linke Hälfte hat Einträge >0,
> untere Rechte nur Nullen b) obere rechte Hälfte hat
> Einträge>0, untere linke Hälfte hat nur Nullen c) untere
> linke Hälfte hat Einträge>0, obere rechte Hälfte hat nur
> Nullen d) untere rechte Hälfte hat Einträge>0, obere linke
> Hälfte hat nur Nullen (s.o.) ?
Wenn du zur jeweiligen Hälfte, die die Einträge >0 hat, auch die Diagonale zählst, dann ist das auf jeden Fall bei den Fällen b) und c) so. Dann wenn ich das richtig verstehe, sind das dann genau Dreiecksmatrizen, und bei denen ist das so. Für die anderen beiden Fälle ist mir nichts bekannt.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Vielen Dank schonmal.
Dieses Schachbrettmuster hat man sich salopp gesagt als Matrix der Co-Faktoren mit wechselndem Vorzeichen beginnend mit einem Plus-Zeichen in der linken oberen Ecke vorzustellen, ja?
Also für den oben genannten Fall:
[mm] \pmat{+C_{11}&-C_{12}&+C_{13}&-C_{14}&+C_{15}
\\-C_{21}&+C_{22}&-C_{23}&+C_{24}&-C_{25}
\\+C_{31}&-C_{32}&+C_{33}&-C_{34}&+C_{35}
\\-C_{41}&+C_{42}&-C_{43}&+C_{44}&-C_{45}
\\+C_{51}&-C_{52}&+C_{53}&-C_{54}&+C_{55} }
[/mm]
Lieben Gruß,
Peter.
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Huhu Zusammen.
Zitat von Leopold:"Vertausche die erste und die fünfte Zeile (Vorzeichenwechsel), ebenso die zweite und die vierte (erneuter Vorzeichenwechsel hebt alten auf). "
geg: z. B. A= [mm] \pmat{ 1 & 2&4 \\ 1 &3&9\\ 1&4&16 }
[/mm]
Wenn ich jetzt z. B. bei Matrix A 1. und 3. Zeile tausche, ändert sich dann ein Vorzeichen? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Danke Euch!
Gruß, Peter.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Sa 29.07.2006 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen!
Ja, in deinem Fall würde sich das Vorzeichen wieder ändern. Das hängt mit dem Verhalten einer Determinantenfunktion zusammen bei Zeilen- und Spaltenumformungen.
1. Vertauscht man zwei Zeilen miteinander, ist det A'= - det A
2. Multiplizierst du eine Zeile mit einem Skalar, ist det A'= Skalar *det A
3. Multiplizierst du eine Zeile mit einem Skalar und addierst diese zu einer anderen Zeile, ist det A'= det A
Das sind die 3 Typen der Zeilen-bzw. Spaltenumformungen und entsprechend dieser ändert sich die Determinante.
liebe Grüße
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Hallo Zusammen.
geg.: [mm] \vmat{1&2&3&4\\0& -1&0&11\\2& -1&0&3\\ -2&0& -1&3} [/mm]
1. Habe obere Dreiecksmatrix gebildet.
-> 1. Zeile mal -2 + 3. Zeile
-> 1. Zeile mal 2 + 4. Zeile
ergab:
[mm] \vmat{1&2&3&4\\0& -1&0&11\\0& -5&-6&-5\\ 0&4&5&11}
[/mm]
-> 2. Zeile mal -5 + 3. Zeile
-> 2. Zeile mal 4 + 4. Zeile
ergab:
[mm] \vmat{1&2&3&4\\0& -1&0&11\\0& 0&-6&-60\\ 0&0&5&55}
[/mm]
-> 3. Zeile mal 5 + 6 mal 4. Zeile
ergab:
[mm] \vmat{1&2&3&4\\0& -1&0&11\\0& 0&-6&-60\\ 0&0&0&30}
[/mm]
2. Müßte nun die 3. Zeile mit -1/6 multiplizieren um 30 als Ergebnis herauszubekommen, sofern man nun die Determinante aus dem Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonale berrechnet.
Ich meine eines der von Franzie aufgeführten Determinantengesetze spricht gegen meinen 2. Rechenschritt.
Wenn man alle Elemente in einer einzelnen Zeile mit einer Zahl b multipliziert, wird die gesamte Determinante mit b multipliziert.
Setze ich dies um so erhalte ich statt 30 als Ergebnis 180.
Korrektes Ergebnis für die Determinante ist det A= 30.
Findet Ihr einen Fehler in meinen Rechenschritten oder in einem Grundgedanken?
Danke Euch vielmals!
Gruß, Peter.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Sa 29.07.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Peter
Ja, im Letzten Schritt operierst du so, dass du zuerst die 4. Zeile mit 6 multiplizierst, also nach Franzie (bzw. ihren richtigen Gesetzen das 6 fache der det. erzeugst. erst dann addierst du das 5fache der 3. zeile, was nichts verändert.
Du darfst wenn sich die Det. nicht ändern soll nur Vielfache einer Zeile zu einer anderen addieren. hier also das 5/6 fache der 3. z zur 4. Z.
Probiers mal mit ner einfachen 2x2 Matrix aus!
Gruss leduart
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Hallo Zusammen.
geg. [mm] A:=\pmat{1&2&3&4\\13&11&-2&6\\7,1&0&-3&73\\2&4&6&8}
[/mm]
Was kriegt Ihr denn für die Determinante von A raus?
Ich hab 0 rausgekriegt.
Danke Euch!
Ahoi, Peter.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
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