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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Determinate
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Determinate: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:14 So 06.11.2016
Autor: questionpeter

Aufgabe
Eine quadratische Blockmatrix

[mm] M:=\pmat{A&B\\C&D} [/mm]

mit [mm] n\times [/mm] n Matrizen A,B,C und D erfülle die Gleichung

[mm] M^{-1}=\pmat{D^T&-B^T\\-C^T&A^T} [/mm]

Zeige, dass die Determinate von M gleich 1 ist.

Moin,

ich brauche wieder eure Hilfe.
ich habe erstmal [mm] M*M^{-1} [/mm] berechnet:

[mm] M*M^{-1}=\pmat{A&B\\C&D}*\pmat{D^T&-B^T\\-C^T&A^T}=\pmat{AD^T-BC^T& -AB^T+BA^T\\CD^T-DC^T&-CB^T+DA^T}=\pmat{E_n&0\\0&E_n} [/mm]

D.h. wir haben dann:

(I)   [mm] AD^T-BC^T)=E_n [/mm]
(II)   [mm] -AB^T+BA^T=0 [/mm]
(III)  [mm] CD^T-DC^T=0 [/mm]
(IV)  [mm] -CB^T+DA^T=E_n [/mm]

(I) [mm] AD^T-BC^T)=E_n \Rightarrow AD^T=E_n [/mm] oder [mm] BC^T=E_n [/mm]
d.h. [mm] D^T [/mm] ist Inverse zu A bzw. [mm] C^T [/mm] ist Inverse zu B
[mm] \Rightarrow [/mm] D,C orthogonal [mm] (D^T=D^{-1} [/mm] bzw. [mm] C^T=C^{-1}) [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A=D bzw. B=C
[mm] \Rightarrow AD^T=AA^T=AA^{-1}=E_n [/mm] dann ist [mm] BC^T [/mm] Nullmatrix

(II)  [mm] -AB^T+BA^T=0 \gdw AB^T=BA^T [/mm]


[mm] \Rightarrow [/mm] A und D bzw C und B müssen Einheitsmatrizen sein

[mm] \Rightarrow [/mm] det(M)=1

Ist es soweit richtg was ich gemacht habe?
dankeschön im Voraus.


        
Bezug
Determinate: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:44 So 06.11.2016
Autor: donquijote


> Eine quadratische Blockmatrix
>  
> [mm]M:=\pmat{A&B\\C&D}[/mm]
>  
> mit [mm]n\times[/mm] n Matrizen A,B,C und D erfülle die Gleichung
>  
> [mm]M^{-1}=\pmat{D^T&-B^T\\-C^T&A^T}[/mm]
>  
> Zeige, dass die Determinate von M gleich 1 ist.
>  Moin,
>
> ich brauche wieder eure Hilfe.
>  ich habe erstmal [mm]M*M^{-1}[/mm] berechnet:
>  
> [mm]M*M^{-1}=\pmat{A&B\\C&D}*\pmat{D^T&-B^T\\-C^T&A^T}=\pmat{AD^T-BC^T& -AB^T+BA^T\\CD^T-DC^T&-CB^T+DA^T}=\pmat{E_n&0\\0&E_n}[/mm]
>  
> D.h. wir haben dann:
>  
> (I)   [mm]AD^T-BC^T)=E_n[/mm]
>  (II)   [mm]-AB^T+BA^T=0[/mm]
>  (III)  [mm]CD^T-DC^T=0[/mm]
>  (IV)  [mm]-CB^T+DA^T=E_n[/mm]
>  
> (I) [mm]AD^T-BC^T)=E_n \Rightarrow AD^T=E_n[/mm] oder [mm]BC^T=E_n[/mm]
>  d.h. [mm]D^T[/mm] ist Inverse zu A bzw. [mm]C^T[/mm] ist Inverse zu B
>  [mm]\Rightarrow[/mm] D,C orthogonal [mm](D^T=D^{-1}[/mm] bzw. [mm]C^T=C^{-1})[/mm]
>  [mm]\Rightarrow[/mm] A=D bzw. B=C
>  [mm]\Rightarrow AD^T=AA^T=AA^{-1}=E_n[/mm] dann ist [mm]BC^T[/mm]
> Nullmatrix
>  
> (II)  [mm]-AB^T+BA^T=0 \gdw AB^T=BA^T[/mm]
>  
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] A und D bzw C und B müssen Einheitsmatrizen
> sein
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] det(M)=1
>  
> Ist es soweit richtg was ich gemacht habe?
>  dankeschön im Voraus.
>  

Hallo, ohne mir deine Rechnung im Detail angesehen zu haben: Das kann nicht stimmen, wie schon das Beispiel  [mm]M:=\pmat{3&2\\4&3}[/mm] zeigt.


Bezug
                
Bezug
Determinate: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:39 Di 08.11.2016
Autor: questionpeter

ich komme einfach nicht weiter, daher wäre ich für jeden tipp dankbar.


Bezug
        
Bezug
Determinate: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:10 Mi 09.11.2016
Autor: angela.h.b.


> Eine quadratische Blockmatrix

>

> [mm]M:=\pmat{A&B\\C&D}[/mm]

>

> mit [mm]n\times[/mm] n Matrizen A,B,C und D erfülle die Gleichung

>

> [mm]M^{-1}=\pmat{D^T&-B^T\\-C^T&A^T}[/mm]

>

> Zeige, dass die Determinate von M gleich 1 ist.

Hallo,

wenn ich mich nicht täusche, ist es mir immerhin gelungen zu zeigen, daß detM=1 oder detM=-1.
Ich habe das Ergebnis durch Anwenden der Regeln für Determinanten (Spalten/Zeilentausch und Multiplikation v. Zeilen/Spalten) erreicht:

[mm] detM^{-1}=[/mm]  [mm]det\pmat{D^T&-B^T\\-C^T&A^T}[/mm]


[mm]=(-1)^ndet\pmat{-B^T&D^T\\A^T&-C^T}[/mm]

[mm]=(-1)^{2n}det\pmat{A^T&-C^T\\-B^T&D^T}[/mm]

[mm]=(-1)^{3n}det\pmat{-A^T&C^T\\-B^T&D^T}[/mm]

[mm]=(-1)^{4n}det\pmat{A^T&C^T\\B^T&D^T}[/mm]

[mm] =detM^T=detM, [/mm]

also ist [mm] (detM)^2=1. [/mm]

Aber weiter weiß ich jetzt auch nicht mehr.

LG Angela
 

Bezug
        
Bezug
Determinate: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:21 Di 15.11.2016
Autor: angela.h.b.

Hallo,

weiß hier vielleicht noch jemand weiter?

Es würde mich interessieren, wie man zeigen kann, daß die Determinante +1 ist, vorzugsweise, wenn dies mit Anfängermitteln get.

LG Angela

Bezug
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