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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Do 01.01.2009 | | Autor: | Theta |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
a) Eine Zahl mit endlicher oder periodischer Dezimaldarstellung ist rational. Wie wandelt man ine solche Zahl in einen Bruch um?
b) Für jede Zahl n [mm] \in \mathbb{N}. [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2 existiert eine der Dezimaldarstellung vergleichbare Darstellung der reellen Zahlen durch eine Menge A von n Zeichen in der Form
[mm] a_ma_{m-1}...a_1a_0, a_{-1}a_{-2}...a_{-(k-1)}a_{-k}...
[/mm]
mit [mm] a_j \in [/mm] A.
c) Zahlen mit einer endlichen oder periodischen Darstellung sind rational.
d) Zahlen, deren Darstellung weder endlich noch periodisch ist, sind irrational. |
Hallo zusammen,
frohes neues Jahr. Ich hoffe ihr seid alle gut rübergekommen!
Ich beginne das Jahr mit neuen Matheaufgaben und habe bei obiger Aufgabe so meine Probleme, besonders da ich eher in Ferien- als in Arbeitsstimmung bin.
Zu Aufgabenteil a habe ich mir schon überlegt, dass ich die Bruchdarstellung ja als Polynom aufschreiben kann. Solle eigentlich kein Problem sein. Mein Ansatz für die Darstellung wäre wie folgt:
3,1415 soll dargestellt werden als Polynom [mm] (\sum_{i=0}^4 a_ix^i)
[/mm]
Ich setze also: x= [mm] \frac{1}{10} [/mm] und [mm] a_i [/mm] je nach Stelle in der Dezimaldarstellung [mm] a_0=3, a_1=1, a_2=4, a_3=1, a_4=5. [/mm] Mein Polynom liefert mir also einen Bruch, der meine Zahl darstellt. Das Problem mit der periodischen Darstellung kann ich noch nicht lösen...
Bei Aufgabe zwei verstehe ich nicht so ganz was für eine der Dezimaldarstellung vergleichbare Darstellung da gemeint ist. Kann mir vielleicht jemand in anderen Worten erklären, was gefragt ist?
Bei c und d sind mir die Aussagen zwar klar, aber ich weiß nicht wie man die beweisen könnte. Über einen kleinen Anstoß wäre ich hier dankbar.
Danke schon einmal.
Gruß, Theta
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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> Beweisen Sie:
> a) Eine Zahl mit endlicher oder periodischer
> Dezimaldarstellung ist rational. Wie wandelt man ine solche
> Zahl in einen Bruch um?
>
> b) Für jede Zahl n [mm]\in \mathbb{N}.[/mm] n [mm]\ge[/mm] 2 existiert eine
> der Dezimaldarstellung vergleichbare Darstellung der
> reellen Zahlen durch eine Menge A von n Zeichen in der
> Form
>
> [mm]a_ma_{m-1}...a_1a_0, a_{-1}a_{-2}...a_{-(k-1)}a_{-k}...[/mm]
>
> mit [mm]a_j \in[/mm] A.
>
> c) Zahlen mit einer endlichen oder periodischen Darstellung
> sind rational.
>
> d) Zahlen, deren Darstellung weder endlich noch periodisch
> ist, sind irrational.
> Hallo zusammen,
>
> frohes neues Jahr. Ich hoffe ihr seid alle gut
> rübergekommen!
> Ich beginne das Jahr mit neuen Matheaufgaben und habe bei
> obiger Aufgabe so meine Probleme, besonders da ich eher in
> Ferien- als in Arbeitsstimmung bin.
>
> Zu Aufgabenteil a habe ich mir schon überlegt, dass ich die
> Bruchdarstellung ja als Polynom aufschreiben kann. wozu? Solle
> eigentlich kein Problem sein. Mein Ansatz für die
> Darstellung wäre wie folgt:
>
> 3,1415 soll dargestellt werden als Polynom [mm](\sum_{i=0}^4 a_ix^i)[/mm]
>
> Ich setze also: x= [mm]\frac{1}{10}[/mm] und [mm]a_i[/mm] je nach Stelle in
> der Dezimaldarstellung [mm]a_0=3, a_1=1, a_2=4, a_3=1, a_4=5.[/mm]
> Mein Polynom liefert mir also einen Bruch, der meine Zahl
> darstellt.
Mach doch [mm] \red{3,1415 = \bruch{31415}{10000}} [/mm] und fertig!
Das Problem mit der periodischen Darstellung
> kann ich noch nicht lösen...
>
Nimm mal x = [mm] 3,14\overline{159}.
[/mm]
Zunächst multiplizierst du ggf. mit 10, 100, 1000 ... so, dass die Periode direkt hinterm Komma beginnt, hier:
100 x = [mm] 314,\overline{159}. [/mm] (*)
Jetzt diese Zahl nochmals mit 10, 100, 1000 ... so, dass der Faktor genau so viele Nullen hat wie die Periodenlänge, hier:
1000*100 x = [mm] 314159,\overline{159}.
[/mm]
Davon ziehst du nun (*) ab:
1000*100 x = [mm] 314159,\overline{159}
[/mm]
- 100 x = [mm] 314,\overline{159}
[/mm]
----------------------------------
999*100 x = 313845 ohne Nachkommastellen!
Sofort erhältst du x = [mm] \bruch{313845}{99900}
[/mm]
Das Ganze funktioniert immer, da die Perioden hinterm Komma sich unendlich oft wiederholen und genau untereinander stehen, so dass sich alles hinterm Komma weghebt.
> Bei Aufgabe zwei verstehe ich nicht so ganz was für eine
> der Dezimaldarstellung vergleichbare Darstellung da gemeint
> ist. Kann mir vielleicht jemand in anderen Worten erklären,
> was gefragt ist?
Ja, du sollst ein anderes Ziffernpositionssystem wählen, z.B. das Deiersystem. Für c) gilt: In jedem anderen Zifferpositionssystem kann man genau so vorgehen, wie ich es oben vorgemacht habe; allerdings bedeutet z.B. im Dreiersystem 1 [mm] \hat= [/mm] 1, 10 [mm] \hat= [/mm] 3, 100 [mm] \hat= [/mm] 3*3=9 usw., der Verschiebungsvorgang ist abe der selbe.
Für d) musst du zeigen, dass Die Verwandlung eines Bruches in eine Kommazahl in jedem System periodisch wird oder abbricht. Daraus folgt dann, dass eine nicht-periodische, nicht-abbrechende Kommazahl keinen Bruch darstellen kann.
>
> Bei c und d sind mir die Aussagen zwar klar, aber ich weiß
> nicht wie man die beweisen könnte. Über einen kleinen
> Anstoß wäre ich hier dankbar.
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>
> Danke schon einmal.
> Gruß, Theta
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum
> gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:50 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Theta |
Danke erstmal für die Hilfe.
Ich werde mal schauen inwieweit ich damit weiterkomme und dann im Zweifelsfalle noch einmal nachfragen.
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:39 Mo 05.01.2009 | | Autor: | briddi |
zu aufgabenteil c)
welchen Verschiebevorgang meinst du denn?
ich habe mir das als beispiel das dualsystem angeschaut,also habe ich mir eine tabelle gemacht (so wie man das oft in der schule gemacht hat), sieht ungefähr so aus
.....16 8 4 2 1 0,5 0,25 0,125 0,0625..... (also die entsprechenden zweierpotenzen)
und darunter hab ich jetzt jeweils die ziffern 0 oder 1 eingetragen um eine Zahl darzustellen. also beispielsweise ist die zahl 7 dann ...001110000... bei den natürlichen zahlen ist das kein problem,aber in der aufgabenstellung steht doch dass ich alle reellen zahlen so darstellen kann. wie geht das denn,beispielsweise mit 0,6, wenn ich nur 1 oder 0 einsetzen darf?
Wie zeig ich denn überhaupt dass alle reellen zahlen so darstellbar sind und das auch noch in jedem solcher systeme ,die größer/gleich dem dualsystem sind.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 08.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Wie man am schnellsten eine Kommazahl ins 2-er-System transformiert, lässt sich folgender Maßen erklären und durchführen.
0,6 (Dezimal) = 0,abcdefgh...(dual), also a,b,c.. sind die Ziffern nach dem Komma, entweder 0 oder 1. Dabei gibt a die Halben, b die Viertel usw. an.
Um a möglichst schnell zu ermitteln, überlegen wir nun nicht, ob in 0,6 schon 1/2 enthalten ist. Das wird nämlich mit zunehmender Stellenzahl immer komplizierter. Statt dessen multiplizieren wir obige Gleichung (wiederholt) mit 2 (im 3-er-System mit 3, im 12-er-System mit 12...):
1,2 = a,bcdefg...,denn bei der Dualdarstellung bewirkt die Multiplikation mit 2 nur eine Kommaverschiebung.
durch Zahlenvergleich erkennen wir nun, dass a=1 sein muss, da links mehr als 1 herauskommt und daher rechts auch ein Einer erscheinen muss.
Nun "vergessen" wir links die 1 und rechts das a und erhalten so
0,2 = 0,bcdefg... |*2
0,4 = b,cdefg..., also b=0, demnach
0,4 = 0,cdefg... |*2
0,8 = c,defg..., also c=0, demnach
0,8 = 0,defg... |*2
1,6 = d,efg..., also d = 1, nun wieder 1 auf beiden Seiten vergessen
0,6 = 0,efg... Achtung: Jetzt sieht man, dass e in der selben Situation ist wie oben das a, so dass sich eine Periode ergibt:
0,6 = [mm] 0,\overline{1001} [/mm] dual.
Die Methode sieht kompliziet aus, ist es aber nicht; insbesondere erkennt man sofort den Neubeginn einer Periode.
Zu Übungszwecken noch mal ins Dreiersystem und ohne viel Erklärungen:
0,6 = 0,abcdefg... |*3
1,8 = a,bcdefg... a=1
0,8 = 0,bcdefg... |*3
2,4 = b,cdefg... b=2
0,4 = 0,cdefg... |*3
1,2 = c,defg... c=1
0,2 = 0,defg... |*3
0,6 = d,efg... d=0
0,6 = 0,efg... Jetzt sieht man, dass e in der selben Situation ist wie oben das a, so dass sich eine Periode ergibt:
0,6 = [mm] 0,\overline{1210} [/mm] im Dreiersystem.
Dass in beiden Fällen die Periodenlänge 4 ist und jeweils sofort mit der ersten Nachkommastelle beginnt, ist Zufall.
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