Dezimaldarstellung reeller Z. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:29 So 14.12.2008 | | Autor: | winni87 |
| Aufgabe | (Dezimaldarstellung reeller Zahlen)
Überlegen Sie sich, dass zu jedem x /in [0; 1] eine Folge (kv) v=1 bis [mm] \infty [/mm] in {0, ... , 9} existiert mit
[mm] \summe_{v=1}^{\infty} \bruch{kv}{10^{v}} [/mm] = x
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Hey,
verstehe ich die Frage richtig, dass der Grenzwert dieser Summe einmal 0 annehmen muss und einmal 1?
Wenn dem so sei, weiß ich wie man es macht, dass 1 rauskommt nämlich so:
0 [mm] \le \bruch{kv}{10^{v}} \le \bruch{9}{10^{v}} [/mm] (v [mm] \in \IN)
[/mm]
Es gilt: [mm] \summe_{v=1}^{n}\bruch{9}{10^{v}} [/mm] = 9 * [mm] \summe_{v=1}^{n}(\bruch{1}{10})^{v} \to [/mm] 9* [mm] (\bruch{1}{1-\bruch{1}{10}} [/mm] - 1) = 1
Dann noch das majorantenkriterium anwenden und es konvergiert gegen 1
muss man das jetzt für die 0 genauso machen? Irgendwie würde das keinen Sinn machen, denn dann würde ja schon gleich da stehen 0 * [mm] \summe_{v=1}^{n} [/mm] ... was ja schon Null wäre.. ?!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo winni87,
also ich kenne diese Aufgabe nur, um die Vorstellung zu schaffen, dass 0.999999999... = 1 ist. D.h dass periodische unendliche Dezimalbrüche auch mit natürlichen Zahlen identifiziert werden können. (Das gibt den unendlichen Dezimalbrüchen ersteinmal ihren Sinn^^).
Allein die 0 und die 1 zu betrachten ist vllt ein wenig zu fokusiert.
[mm] \summe_{v=1}^{\infty}\bruch{kv}{10^v}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{v=1}^{n}\bruch{kv}{10^v}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{v=1}^{n}\bruch{kv}{10^v}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{v=1}^{n}kv*\bruch{1}{10^v}
[/mm]
[mm] \summe_{v=1}^{\infty}\bruch{1}{10^v} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{10}}-1=\bruch{1}{10}
[/mm]
So wie ich diese Aufgabe verstehe, sollst du eine allgemeine Vorschrift für deine x [mm] \in [/mm] [0,1] angeben, in Abhängigkeit von k.
D.h angenommen ich sage irgendein x, und möchte wissen für welches k das rauskommt.
Aber an sich ist dein Ansatz m.M.n nicht falsch.
Ich hoffe ich konnte dir ein wenig helfen.
lg Kai
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Mo 15.12.2008 | | Autor: | winni87 |
ok, dass das mit der 0 und der 1 nicht so richtig war, hab ich auch eingesehen, aber ich kann mit dem x zum Schluss nichts anfangen. Ich komme nicht weiter mit der Aufagabe :(
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Wie ist denn die Aufgabe?
Bisher hast Du nur eine Voraussetzung gepostet, die besagt, dass man die Dezimaldarstellung einer reellen Zahl auch ziffernweise von links nach rechts lesen kann, allerdings nicht weiß, ob die Darstellung unendlich lang ist oder nicht.
Und was sollst Du jetzt lösen, nachdem diese tiefe Einsicht in eine ordentliche mathematische Notation verpackt worden ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Mo 15.12.2008 | | Autor: | winni87 |
Die Frage war das hier:
(Dezimaldarstellung reeller Zahlen)
Überlegen Sie sich, dass zu jedem x /in [0; 1] eine Folge (kv) v=1 bis $ [mm] \infty [/mm] $ in {0, ... , 9} existiert mit
$ [mm] \summe_{v=1}^{\infty} \bruch{kv}{10^{v}} [/mm] $ = x
Aber ich versteh es halt nicht, weil ich nicht weis was dieses x am Ende soll...
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Ich hab's Dir doch gerade ins Deutsche übersetzt.
Hilft Dir ein Beispiel mehr? Dann nimm diese Folge:
[mm] k_v=1, [/mm] 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 2, 3, 8, 4, 6, 2, 6, 4, 3, 3, 8, 3, 2, 7, 9, 5, 0, 2, 8, 8, 4, 1, 9, 7, 1, 6, 9, 3, 9, 9, 3, 7, 5, 1, 0, 5, 8, 2, 0, 9, 7, 4, 9, 4, 4, 5, 9, 2, 3, 0, 7, 8, 1, 6, 4, 0, 6, 2, 8, 6, 2, 0, 8, 9, 9, 8, 6, 2, 8, 0, 3, 4, 8, 2, 5, 3, 4, 2, 1, 1, 7, 0, 6, 7, 9, 8, 2, 1, 4, 8, 0, 8, 6, 5, 1, 3, 2, 8, 2, 3, 0, 6, 6, 4, 7, 0, 9, 3, 8, 4, 4, 6, 0, 9, 5, 5, 0, 5, 8, 2, 2, 3, 1, 7, 2, 5, 3, 5, 9, 4, 0, 8, 1, 2, 8, 4, 8, 1, 1, 1, 7, 4, 5, 0, 2, 8, 4, 1, 0, 2, 7, 0, 1, 9, 3, 8, 5, 2, 1, 1, 0, 5, 5, 5, 9, 6, 4, 4, 6, 2, 2, 9, 4, 8, 9, 5, 4, 9, 3, 0, 3, 8, 1, 9, 6, ...
Wenn Du das bitte mal ordentlich in Deine Formel einsetzen wolltest.
Ergebnis zum Vergleich:
0,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196...
Dies sind die ersten 200 Nachkommastellen von [mm] \pi, [/mm] so dass also [mm] x=\pi-3
[/mm]
Du kannst x nicht errechnen. Dies ist eine Vorüberlegung, nichts weiter als die korrekte mathematische Formulierung, wie man Dezimalbrüche aufschreibt.
Jeder Dezimalbruch aus dem Intervall [0;1] ist mit einer solchen Folge von Ziffern (denn um nichts anderes handelt es sich ja) darstellbar.
Da ist nichts zu zeigen, außer, dass die Darstellung eindeutig ist.
Mit der Erfassung dieses Intervalls hast du alle möglichen Nachkommastellen aller reellen Zahlen erfasst!
Grüße,
reverend
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