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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Fr 17.10.2008 | | Autor: | tobe |
| Aufgabe | Geben Sie für t>0 ein Fundmentalsystem für das folgende Differentialgleichunssystem an:
(1) [mm] x'=\bruch{x}{t}+2ty
[/mm]
(2) [mm] y'=\bruch{y}{t} [/mm] |
Ich wollte es mit der Eliminationsmehode berechnen:
Gleichung 1 abgeleitet ergibt
(3) [mm] x''=\bruch{tx'-x}{t^{2}}+2ty'+2y
[/mm]
mit (1) nach y aufgelöst in (3) und (2) in (3)eingesetzt ergibt sich:
[mm] x''-\bruch{3x'}{t}+ \bruch{3x}{t^{2}}=0
[/mm]
Ist das nun soweit richtig? Und wie trenne ich nun die Störfunktion?
Lg Tobias
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Hallo tobe,
> Geben Sie für t>0 ein Fundmentalsystem für das folgende
> Differentialgleichunssystem an:
>
> (1) [mm]x'=\bruch{x}{t}+2ty[/mm]
>
> (2) [mm]y'=\bruch{y}{t}[/mm]
> Ich wollte es mit der Eliminationsmehode berechnen:
> Gleichung 1 abgeleitet ergibt
> (3) [mm]x''=\bruch{tx'-x}{t^{2}}+2ty'+2y[/mm]
> mit (1) nach y aufgelöst in (3) und (2) in (3)eingesetzt
> ergibt sich:
>
> [mm]x''-\bruch{3x'}{t}+ \bruch{3x}{t^{2}}=0[/mm]
>
> Ist das nun soweit richtig? Und wie trenne ich nun die
> Störfunktion?
Hier bietet sich ja gerade zu eine Substitution
[mm]x\left(t\right)=u\left(t\right)*t \Rightarrow x'=u't+u[/mm]
[mm]y\left(t\right)=v\left(t\right)*t \Rightarrow y'=v't+v[/mm]
an.
Und dann beginnend mit der 2. Gleichung das DGL-System lösen.
>
> Lg Tobias
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Sa 18.10.2008 | | Autor: | tobe |
hmm, mir fehlt einfach der Blick für die Aufgaben. Ich habe mich mal folgendermaßen versucht:
Durch Substitution folgt:
(I) [mm] u't+u=u+2t^{2}v
[/mm]
(I) u'=2tv
(II) v't=0
(I)': u''=2tv'+2v
(II)in (I)' ergibt (III)u''=2v ?
(I) in (III) ergibt [mm] u''=\bruch{u'}{t}
[/mm]
---------------------
ab hier bin ich mir garnicht mehr sicher ob ich das folgendermaßen rechnen kann:
[mm] u''=\bruch{u'}{t}
[/mm]
[mm] \bruch{u''}{u'}=\bruch{1}{t} [/mm] |integriert
lnu'=lnt
u'=t |integriert
[mm] u=0.5t^{2}
[/mm]
Rücksubstituieren ergibt:
[mm] \bruch{x(t)}{t}=0.5t^{2}
[/mm]
Damit ist meine Lösung [mm] x(t)=0.5t^{3}
[/mm]
Kann man das so rechnen oder muss ich die DGL 2. Ordnung erst durch lösen der homogenen gleichung und dann noch eine partikuläre lösen? Oder passt das so?
Danke für eure Bemühungen :>
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Hallo tobe,
> hmm, mir fehlt einfach der Blick für die Aufgaben. Ich habe
> mich mal folgendermaßen versucht:
>
> Durch Substitution folgt:
> (I) [mm]u't+u=u+2t^{2}v[/mm]
> (I) u'=2tv
> (II) v't=0
>
> (I)': u''=2tv'+2v
> (II)in (I)' ergibt (III)u''=2v ?
> (I) in (III) ergibt [mm]u''=\bruch{u'}{t}[/mm]
>
> ---------------------
> ab hier bin ich mir garnicht mehr sicher ob ich das
> folgendermaßen rechnen kann:
> [mm]u''=\bruch{u'}{t}[/mm]
> [mm]\bruch{u''}{u'}=\bruch{1}{t}[/mm] |integriert
> lnu'=lnt
Hier hast Du die Integrationskonstante vergessen:
[mm]\ln\left(u'\right)=\ln\left(t\right)\red{+C_{1}}[/mm]
> u'=t |integriert
[mm]\Rightarrow u'=\tilde{C}_{1}*t[/mm]
> [mm]u=0.5t^{2}[/mm]
Integriert ergibt:
[mm]u=\bruch{1}{2}\tilde{C}_{1}*t^{2}\red{+C_{0}}[/mm]
> Rücksubstituieren ergibt:
> [mm]\bruch{x(t)}{t}=0.5t^{2}[/mm]
> Damit ist meine Lösung [mm]x(t)=0.5t^{3}[/mm]
Rücksubstitutiion ergibt:
[mm]\bruch{x\left(t\right)}{t}=\bruch{1}{2}\tilde{C}_{1}*t^{2}+C_{0}[/mm]
[mm]\Rightarrow x\left(t\right)=\bruch{1}{2}\tilde{C}_{1}*t^{3}+C_{0}*t[/mm]
>
> Kann man das so rechnen oder muss ich die DGL 2. Ordnung
> erst durch lösen der homogenen gleichung und dann noch eine
> partikuläre lösen? Oder passt das so?
Bis auf die Integrationskonstanten, die fehlen, passt das.
Jetzt musst Du natürlich noch [mm]v\left(t\right)[/mm] und damit [mm]y\left(t\right)[/mm] bestimmen.
>
> Danke für eure Bemühungen :>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 So 19.10.2008 | | Autor: | tobe |
Dann versuche ich mich mal an der Bestimmung von y(t):
tv'=0 [mm] \Integriert
[/mm]
[mm] \integral{tv'}dv=C_{a} [/mm]
partielle integration liefert:
[mm] tv-\bruch{1}{2}v^{2}+C_{b}=C_{a}
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{2}v^{2}+tv+C_{a+b}=0
[/mm]
-> [mm] v_{1}=t-\wurzel{t^{2}+2C_{a+b}}
[/mm]
-> [mm] v_{2}=t+\wurzel{t^{2}+2C_{a+b}}
[/mm]
Rücksubstituiert:
[mm] y_{1}=t^{2}-t\wurzel{t^{2}+2C_{a+b}}
[/mm]
[mm] y_{2}=t^{2}+t\wurzel{t^{2}+2C_{a+b}}
[/mm]
Was ist nun meine Endlösung?
$ [mm] \bruch{1}{2}\tilde{C}_{1}\cdot{}t^{3}+C_{0}\cdot{}t [/mm] $ + [mm] t^{2}-t\wurzel{t^{2}+2C_{a+b}} [/mm] + [mm] t^{2}+t\wurzel{t^{2}+2C_{a+b}}
[/mm]
=$ [mm] =\bruch{1}{2}\tilde{C}_{1}\cdot{}t^{3}+C_{0}\cdot{}t [/mm] $ [mm] +2t^{2}
[/mm]
Was mich daran stört ist, dass wenn ich Differentialgleichungssysteme mit z.B. Eigenvektormethode gelöst habe immer ein x(t) erhalten habe und das ist dann auch mein Endergebnis. Hier habe ich jetzt aber in x(t) und ein y(t) aber irgenwie fehlt der zusammenhang zwischen den beiden Lösungen.
Wie kann ich das nun Interpretieren und ist min obiger Lösungsansatz überhaupt richtig?
Lg Tobias
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Hallo tobe,
> Dann versuche ich mich mal an der Bestimmung von y(t):
> tv'=0 [mm]\Integriert[/mm]
> [mm]\integral{tv'}dv=C_{a}[/mm]
> partielle integration liefert:
> [mm]tv-\bruch{1}{2}v^{2}+C_{b}=C_{a}[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{2}v^{2}+tv+C_{a+b}=0[/mm]
>
> -> [mm]v_{1}=t-\wurzel{t^{2}+2C_{a+b}}[/mm]
> -> [mm]v_{2}=t+\wurzel{t^{2}+2C_{a+b}}[/mm]
>
> Rücksubstituiert:
> [mm]y_{1}=t^{2}-t\wurzel{t^{2}+2C_{a+b}}[/mm]
> [mm]y_{2}=t^{2}+t\wurzel{t^{2}+2C_{a+b}}[/mm]
>
> Was ist nun meine Endlösung?
>
> [mm]\bruch{1}{2}\tilde{C}_{1}\cdot{}t^{3}+C_{0}\cdot{}t[/mm] +
> [mm]t^{2}-t\wurzel{t^{2}+2C_{a+b}}[/mm] +
> [mm]t^{2}+t\wurzel{t^{2}+2C_{a+b}}[/mm]
> =[mm] =\bruch{1}{2}\tilde{C}_{1}\cdot{}t^{3}+C_{0}\cdot{}t[/mm]
> [mm]+2t^{2}[/mm]
Das stimmt leider nicht.
Aus [mm]v't=0 \Rightarrow v'=0[/mm], da das für alle t gelten muß.
Somit folgt [mm]v=C[/mm], was sich auch aus
[mm]v\left(t\right)=\bruch{u'\left(t\right)}{2t}[/mm]
ergibt.
Demzufolge ist [mm]y\left(t\right)=v\left(t\right)*t=C*t[/mm]
>
> Was mich daran stört ist, dass wenn ich
> Differentialgleichungssysteme mit z.B. Eigenvektormethode
> gelöst habe immer ein x(t) erhalten habe und das ist dann
> auch mein Endergebnis. Hier habe ich jetzt aber in x(t) und
> ein y(t) aber irgenwie fehlt der zusammenhang zwischen den
> beiden Lösungen.
> Wie kann ich das nun Interpretieren und ist min obiger
> Lösungsansatz überhaupt richtig?
[mm]x\left(t\right)[/mm] und [mm]y\left(t\right)[/mm] sind skalare Funktionen.
Sicher ist der richtig.
Natürlich kannst Du die Lösung auch nachrechnen:
Löse zuerst
[mm]y'\left(t\right)=\bruch{y\left(t\right)}{t}[/mm]
Diese Lösung setzt Du nun hier ein:
[mm]x'\left(t\right)=\bruch{x\left(t\right)}{t}+2*t*y\left(t\right)[/mm]
Und bestimmst wiederum die Lösung hiervon.
>
> Lg Tobias
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Gruß
MathePower
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