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| Aufgabe | Die Dgl.der freien gedämpften Schwingung (z.B. gedämpfte Federschwingung, Serienschwingkreis) ist gegeben durch:
[mm] x''(t)+s\deltax'(t)+\omega_0^2x(t)=0 [/mm] mit [mm] \delta, \omega_0 [/mm] positive Konstanten
1a) Fall [mm] \delta >\omega_0
[/mm]
(I) Berechnen Sie die allgemeine Lösung für diesen Fall
(II) Berechnen Sie die spezielle Lösung zu den Anfangswerten x(0)=1, x'(0)=0
(III) Skizze der speziellen Lösung für [mm] \delta=0,5 [/mm] und [mm] \omega_0 [/mm] =0,4 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
(I) Allgemeine Lösung:
Eine Allgemeine Lösung hierzu wäre meines Wissens
x(t)=A*sin(p*t)+B*cos(p*t) mit A,B als frei wählbare Konstanten.
Was mich nun irritiert ist die Aufgabenstellung "Berechne", da ich bis hier noch nicht sonderlich viel gerechnet habe ... Oder ist die Allgemeine Lösung erst dann erreicht, wenn Bedingungen für A und B errechnet sind ? dann wäre mit
x(t)=A*sin(p*t)+B*cos(p*t)
x'(t)=A*p*cos(p*t)-B*p*sin(p*t)
x''(t)=-A*p²*sin(p*t)-B*p²*cos(p*t)
in die in der Aufgabenstellung gegebene Gleichung eingesetzt:
[mm] \omega_0^2*A*sin(p*t)+\omega_0^2*B*cos(p*t)+2*\delta*A*p*cos(p*t)-2*\delta*B*p*sin(p*t)-A*p²*sin(p*t)-B*p²*cos(p*t)=0
[/mm]
mit [mm] p=\omega_0 [/mm] fallen die ersten und die letzten beiden Summanden raus, und es bleibt:
[mm] 2*\delta*A*\omega_0*cos(\omega_0*t)-2*\delta*B*\omega_0*sin(\omega_0*t)
[/mm]
<=> [mm] A*cos(\omega_0*t)=B*sin(\omega_0*t)
[/mm]
<=> [mm] B=A*(cos(\omega_0*t)/(sin(\omega_0*t)=A*cot(\omega_0*t)
[/mm]
dann wäre
[mm] x(t)=A*sin(\omega_0*t)+A*cot(\omega_0*t)*cos(\omega_0*t)
[/mm]
Irgendetwas muss hier falsch gelaufen sein, da ja in diesen Fällen [mm] \delta [/mm] überhaupt nicht mehr berücksichtigt werden müsste. Damit wäre aber eine Fallunterscheidung in der Aufgabenstellung zwecklos, und das kann ich mir nicht vorstellen ...
Ok, neuer Ansatz ...
ich setze B=0 und erhalte nach Einsetzen:
x(t)=A*sin(p*t)
x'(t)=A*p*cos(p*t)
x''(t)=-A*p²*sin(p*t)
eingesetzt in die Formel der Aufgabenstellung:
[mm] \omega_0^2*A*sin(p*t)+2*\delta*A*p*cos(p*t)-A*p²*sin(p*t)=0
[/mm]
Wieder setze [mm] ich\omega_0=p [/mm] und es bleibt:
[mm] 2*\delta*A*p*cos(p*t)=0
[/mm]
<=>A=0 oder cos(p*t)=0 => [mm] p*t=\phi/2 [/mm] 0> [mm] p=\phi/(2*t)
[/mm]
damit wäre [mm] \omega_0=p=\phi/(2*t)
[/mm]
Aber auch hier sehe ich keine Relevanz um zwischen [mm] \delta und\omega_0 [/mm] zu unterscheiden :(
Bitte helfe mich,
mfg, Leon ;.)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:31 Mi 13.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Cyberleon
> Die Dgl.der freien gedämpften Schwingung (z.B. gedämpfte
> Federschwingung, Serienschwingkreis) ist gegeben durch:
> [mm]x''(t)+\delta *x'(t)+\omega_0^2x(t)=0[/mm] mit [mm]\delta, \omega_0[/mm]
> positive Konstanten
> 1a) Fall [mm]\delta >\omega_0[/mm]
> (I) Berechnen Sie die
> allgemeine Lösung für diesen Fall
> (II) Berechnen Sie die spezielle Lösung zu den
> Anfangswerten x(0)=1, x'(0)=0
> (III) Skizze der speziellen Lösung für [mm]\delta=0,5[/mm] und
> [mm]\omega_0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
=0,4
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> (I) Allgemeine Lösung:
> Eine Allgemeine Lösung hierzu wäre meines Wissens
> x(t)=A*sin(p*t)+B*cos(p*t) mit A,B als frei wählbare
> Konstanten.
Falsch! das kannst du durch einsetzen sehen. Das ist nur ein Ansatz wenn keine Dämpfung da ist (also \delta=0)
> Was mich nun irritiert ist die Aufgabenstellung
Mach den Ansatz $y=(Asin(\omega*t)+B*cos(\omega*t))*e^{\alpha*t)$ setz ihn ein, und bestimme \omega und \alpha so, dass die Dgl erfüllt ist.
,
> "Berechne", da ich bis hier noch nicht sonderlich viel
> gerechnet habe ... Oder ist die Allgemeine Lösung erst dann
> erreicht, wenn Bedingungen für A und B errechnet sind ?
> dann wäre mit
> x(t)=A*sin(p*t)+B*cos(p*t)
> x'(t)=A*p*cos(p*t)-B*p*sin(p*t)
> x''(t)=-A*p²*sin(p*t)-B*p²*cos(p*t)
> in die in der Aufgabenstellung gegebene Gleichung
> eingesetzt:
>
> [mm]\omega_0^2*A*sin(p*t)+\omega_0^2*B*cos(p*t)+2*\delta*A*p*cos(p*t)-2*\delta*B*p*sin(p*t)-A*p²*sin(p*t)-B*p²*cos(p*t)=0[/mm]
> mit [mm]p=\omega_0[/mm]
Wieso das denn?
> fallen die ersten und die letzten beiden
> Summanden raus, und es bleibt:
>
> [mm]2*\delta*A*\omega_0*cos(\omega_0*t)-2*\delta*B*\omega_0*sin(\omega_0*t)[/mm]
> <=> [mm]A*cos(\omega_0*t)=B*sin(\omega_0*t)[/mm]
Wenn A und B Konstanten sind ist das nicht für alle t möglich!
> <=>
> [mm]B=A*(cos(\omega_0*t)/(sin(\omega_0*t)=A*cot(\omega_0*t)[/mm]
B sollte doch ne Konstante sein!
> dann wäre
> [mm]x(t)=A*sin(\omega_0*t)+A*cot(\omega_0*t)*cos(\omega_0*t)[/mm]
> Irgendetwas muss hier falsch gelaufen sein, da ja in
> diesen Fällen [mm]\delta[/mm] überhaupt nicht mehr berücksichtigt
> werden müsste. Damit wäre aber eine Fallunterscheidung in
> der Aufgabenstellung zwecklos, und das kann ich mir nicht
> vorstellen ...
>
> Ok, neuer Ansatz ...
> ich setze B=0 und erhalte nach Einsetzen:
> x(t)=A*sin(p*t)
> x'(t)=A*p*cos(p*t)
> x''(t)=-A*p²*sin(p*t)
> eingesetzt in die Formel der Aufgabenstellung:
>
> [mm]\omega_0^2*A*sin(p*t)+2*\delta*A*p*cos(p*t)-A*p²*sin(p*t)=0[/mm]
> Wieder setze [mm]ich\omega_0=p[/mm] und es bleibt:
Siehe oben!
> [mm]2*\delta*A*p*cos(p*t)=0[/mm]
> <=>A=0 oder cos(p*t)=0 => [mm]p*t=\phi/2[/mm] 0> [mm]p=\phi/(2*t)[/mm]
Auch hier p sollte doch ne Konstante sein!
Da dein Ansatz nicht stimmt, kannst du auch keine Lösung finden.
ABER die allg. Lösung einer DGL 2. Ordnung MUSS 2 Konstanten enthalten, erst die Anfangsbedingungen legen die fest.
Du musst also [mm] \omega [/mm] und [mm] \alpha [/mm] so bestimmen, dass die DGL für ALLE t erfüllt ist.
Gruss leduart
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