Diagonal und Trigonal < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Geddie |
Ich hab mal eine Frage bzgl. dem Diagonalisieren und dem Trigonalisieren von Matrizen. Kann es sein, dass eine Matrix beides zu gleich ist? Bsp. Einheitsmatrix.
Damit es trigonaliserbar ist, muss das char. Polynom in Linearfaktoren zerfallen. Tut es. [mm] (X-1)^{3}. [/mm] Also ist die Matrix trigonalisierbar.
Für diagonalisierbar muss sie wie oben in Linearfaktoren zerfallen und die geometrische Vielfachheit muss gleich der algebraischen sein.
Alg. Vielfachheit ist 3, da [mm] (X-1)^{3} [/mm] und die geometrische wird berechnet durch: n - [mm] Rang(A-\lambda_{i} *E_{n} [/mm] ) n ist die Anzahl der Zeilen der Matrix (in meinem Beispiel 3). A ist die Einheitsmatrix und davon wird ja jetzt [mm] \lambda [/mm] = 1 * [mm] E_{n} [/mm] abgezogen. Also wird die Einheitsmatrix von der Einheitsmatrix subtrahiert, so dass der Rang = 0 ist und damit die geometrische Vielfachheit ebenfalls 3 ist. Also ist die Matrix auch diagonalisierbar.
Geht das oder hab ich was falsch gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Geddie,
> Ich hab mal eine Frage bzgl. dem Diagonalisieren und dem
> Trigonalisieren von Matrizen. Kann es sein, dass eine
> Matrix beides zu gleich ist? Bsp. Einheitsmatrix.
> Damit es trigonaliserbar ist, muss das char. Polynom in
> Linearfaktoren zerfallen. Tut es. [mm](X-1)^{3}.[/mm] Also ist die
> Matrix trigonalisierbar.
Hattet Ihr dieses Kriterium doch noch heute in der Vorlesung? 
> Für diagonalisierbar muss sie wie oben in Linearfaktoren
> zerfallen und die geometrische Vielfachheit muss gleich der
> algebraischen sein.
Nun, nach Deinen gegebenen Kriterien ist doch klar, dass diagonalisieren eine viel stärkere Eigenschaft ist als trigonalisieren:
Trigonalisieren: Char. Polynom zerfällt in Linearfaktoren
Diagonalisieren: Char. Polynom zerfällt in Linearfaktoren und weitere Bedingung (algebraische=geometrische Vielfachheit).
Mit anderen Worten: Jede diagonalisierbare Matrix ist zugleich trigonalisierbar, oder "Matrix diagonalisierbar [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Matrix trigonalisierbar".
> Alg. Vielfachheit ist 3, da [mm](X-1)^{3}[/mm] und die geometrische
> wird berechnet durch: n - [mm]Rang(A-\lambda_{i} *E_{n}[/mm] ) n ist
> die Anzahl der Zeilen der Matrix (in meinem Beispiel 3). A
> ist die Einheitsmatrix und davon wird ja jetzt [mm]\lambda[/mm] = 1
> * [mm]E_{n}[/mm] abgezogen. Also wird die Einheitsmatrix von der
> Einheitsmatrix subtrahiert, so dass der Rang = 0 ist und
> damit die geometrische Vielfachheit ebenfalls 3 ist. Also
> ist die Matrix auch diagonalisierbar.
> Geht das oder hab ich was falsch gemacht?
Nein, das ist richtig.
Weitere Beispiele für Matrizen, die diagonalisierbar und trigonalisierbar (über einem Körper k) sind, sind eben alle diagonalisierbaren Matrizen.
Übrigens ist es noch wichtig, den Körper zu erwähnen, über dem die Matrix dia-/trigonalisierbar ist, siehe Dein aktueller Aufgabenzettel
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Geddie |
Sehr gut!
Dann hab ich das ja doch richtig verstanden. klar, der Körper spielt auch ne Rolle (in meinem Fall erst mal nur [mm] \IR). [/mm] Über [mm] \IC [/mm] ist ja schon mal jede Matrix trigonalisierbar, geht ja aus dem Fundamentalsatz der Algebra hervor!?!!?! Diagonalisieren müsste ich noch schauen
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