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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:19 Mi 23.05.2007 | | Autor: | LittleStudi |
| Aufgabe | Gegeben habe ich diese 3 Abbildungen:
a) [mm] \phi_{1}(x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] = [mm] (-x_{3},x_{1}-3x_{2},x_{2}-3x_{3})
[/mm]
b) [mm] \phi_{2}(x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] = [mm] (-3x_{2}-2x_{3}, -x_{1}-2x_{2}-2x_{3},x_{1}+3x_{2}+3x_{3})
[/mm]
c) [mm] \phi_{2}(x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] = ( [mm] x_{2}, x_{3}, -x_{2}-2x_{3}) [/mm] |
Kann mir jemand vielleicht sagen, welche von diesen 3 Abbildungen diagonalisierbar ist ... denn ich bekomme heraus, dass sie alle nicht diagonalisierbar sind, was nicht sein kann... habe die Eigenwerte berechnet und bekomme überall heraus dass, das charakteristische Polynom nicht zerfällt und daraus folgt ja, das sie nicht diagonalisierbar ist oder ... somal ich dann ja auch keine geordnete Basis B hätte sodass [mm] [\phi]_{B} [/mm] eine Diagonalmatrix ist.
Falls ihr mir helfen könnt wäre ich euch sehr dankbar :)
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Hallo,
um der Sache auf den Grund gehen zu können, solltest Du hier vorrechnen, was Du getan hast, wie die charakteristischen Polynome lauten und wie Du zu ihnen gekommen bist.
Wenn die charakteristischen Polynome tatsächlich allesamt nicht zerfallen, wirst Du nicht diagonalisieren können - aber meine Lebenserfahrung sagt mir: das wird wahrscheinlich nicht der Fall sein...
Gruß v. Angela
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Also ich beginne einfach mal mit der a)
Die Abbildungsmatirx bzgl. den kanonischen Einheitsvektoren ist dann [mm] \pmat{ 0 & 0 & -1 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -3}
[/mm]
D.h. ich muss die Determinante von [mm] \pmat{ -\lambda & 0 & -1 \\ 1 & -3-\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -3-\lambda} [/mm] berechenen ...
Hieraus erhalte ich das charakteristische Polynom [mm] -\lambda^{3}-6\lambda^{2}-9\lambda-1
[/mm]
Und wenn ich das = 0 setzte bekomme ich keine 3 verschiedenen Eigenwerte heraus (daher zerfällt das Polynom doch nicht, oder) somal die Zahlen sehr ungerade sind was mich ein wenig verunsichert :(
Soll ich die anderen zwei Aufgaben auch gleich hier herschreiben oder soll erst die a) gemacht werden damit man nicht durcheinander kommt :)
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ich habe gerade meinen Fehler gefunden ich darf ja die Basisvektoren frei wählen und wenn ich sie geschickter wähle bekomme ich die Matrix [mm] \pmat{ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & -1} [/mm] diese hat dann als charakteristisches Polynom [mm] \lambda^3 [/mm] - [mm] \lambda^2 [/mm] - [mm] \lambda [/mm] + 1
Dieses hat jedoch die Eigenwerte -1,1,1 d.h. die dimension der Eigenvektoren wäre 2 die von V ist jedoch 3 ... d.h. die Matrix ist nicht diagonalisierbar oder?
Wenn das richtig ist denke ich dass ich die b) und c) auch so machen kann
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> ich habe gerade meinen Fehler gefunden ich darf ja die
> Basisvektoren frei wählen und wenn ich sie geschickter
> wähle bekomme ich die Matrix [mm]\pmat{ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & -1}[/mm]
> diese hat dann als charakteristisches Polynom [mm]\lambda^3[/mm] -
> [mm]\lambda^2[/mm] - [mm]\lambda[/mm] + 1
Hallo,
damit hast Du mich jetzt aber ganz schön durcheinandergebracht!
Ich verstehe, was Du getan hast.
Du hast nun die Matrix der Abbildung [mm] \phi [/mm] bzgl der Basen [mm] (e_1, e_2, e_3) \to (e_2,e_3,e_1) [/mm] aufgestellt. Das hast Du richtig gemacht.
Dann hast Du das charakteristische Polynom dieser Matrix berechnet. Das hast Du auch richtig gemacht.
ABER: das charakteristische Polynom dieser Matrix ist nicht das charakteristische Polynom von [mm] \phi. [/mm] Hierfür brauchst Du die darstellende Matrix bzgl ein und derselben Matrix.
Gruß v. Angela
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> Also ich beginne einfach mal mit der a)
>
> Die Abbildungsmatirx bzgl. den kanonischen Einheitsvektoren
> ist dann [mm]\pmat{ 0 & 0 & -1 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -3}[/mm]
Hallo,
die Matrix ist schonmal richtig,
>
> D.h. ich muss die Determinante von [mm]\pmat{ -\lambda & 0 & -1 \\ 1 & -3-\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -3-\lambda}[/mm]
> berechenen ...
Genau.
>
> Hieraus erhalte ich das charakteristische Polynom
> [mm]-\lambda^{3}-6\lambda^{2}-9\lambda-1[/mm]
>
Ja.
> Und wenn ich das = 0 setzte bekomme ich keine 3
> verschiedenen Eigenwerte heraus (daher zerfällt das Polynom
> doch nicht, oder) somal die Zahlen sehr ungerade sind was
> mich ein wenig verunsichert :(
Wenn es nur eine Nullstelle hätte, würde es über [mm] \IR [/mm] nicht zerfallen.
Aber: dieses hier hat 3 verschiedene Nullstellen.
(Das findest Du z.B. heraus, wenn Du es plottest...
Ordentlich begründen kann man es mit den Extremwerten bzw. der Steigung.)
Die genauen Nullstellen brauchst Du für die weiteren Überlegungen gar nicht.
Wie geht's nun weiter?
Was weißt Du, was schließt Du?
> Soll ich die anderen zwei Aufgaben auch gleich hier
> herschreiben oder soll erst die a) gemacht werden damit man
> nicht durcheinander kommt :)
Ich glaube, daß das eine gute Idee wäre...
Gruß v. Angela
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