Diagonalisierbar End < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:42 Mi 03.05.2006 | | Autor: | Arnbert |
Hi zusammen...
also f ist ein endomorphismus in V.
V besitzt eine Zerlegung in eine direkte summe
[mm] V=U_1\oplus\ ...\oplus\ U_k [/mm] derart, dass [mm] f(U_i)\subset\ U_i [/mm] für
alle i=1...k.
wie kann ich jetzt zeigen dass wenn f diagonalisierbar ist, dann auch
[mm] f_i:=f [/mm] eingeschränkt auf [mm] U_i: U_i->U_i [/mm] diagonalisierbar ist??hab den
hinweis dazu, Eig(f,lambda) = dir.Summe [mm] Eig(f_i,lambda). [/mm] hilft mir aber auch nicht.
bitte helft mir hier.
bye arne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Do 04.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Arne!
> also f ist ein endomorphismus in V.
> V besitzt eine Zerlegung in eine direkte summe
> [mm]V=U_1\oplus\ ...\oplus\ U_k[/mm] derart, dass [mm]f(U_i)\subset\ U_i[/mm]
> für
> alle i=1...k.
> wie kann ich jetzt zeigen dass wenn f diagonalisierbar
> ist, dann auch
> [mm]f_i:=f[/mm] eingeschränkt auf [mm]U_i: U_i->U_i[/mm] diagonalisierbar
> ist??hab den
> hinweis dazu, Eig(f,lambda) = dir.Summe [mm]Eig(f_i,lambda).[/mm]
> hilft mir aber auch nicht.
Seien [mm] $\lambda_1, \dots, \lambda_\ell$ [/mm] die Eigenwerte von $f$. Dann ist ja $V = [mm] \bigoplus_{j=1}^\ell [/mm] Eig(f, [mm] \lambda_i)$. [/mm] Und nach den Hinweis ist $V = [mm] \bigoplus_{j=1}^\ell \bigoplus_{i=1}^k Eig(f_i, \lambda_j) [/mm] = [mm] \bigoplus_{i=1}^k \left( \bigoplus_{j=1}^\ell Eig(f_i, \lambda_j) \right)$.
[/mm]
Nun liegen die [mm] $Eig(f_i, \lambda_j)$ [/mm] alle in [mm] $U_i$, [/mm] womit [mm] $\bigoplus_{j=1}^\ell Eig(f_i, \lambda_j) \subseteq U_i$ [/mm] gilt. Kann jetzt [mm] $\bigoplus_{j=1}^\ell Eig(f_i, \lambda_j) \subsetneqq U_i$ [/mm] sein? Nein, kann es nicht, die Begruendung musst du jetzt aber selber finden 
So. Also ist [mm] $\bigoplus_{j=1}^\ell Eig(f_i, \lambda_j) [/mm] = [mm] U_i$. [/mm] Was weisst du jetzt?
LG Felix
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