Diagonalisierbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 So 30.04.2006 | | Autor: | Mikke |
hallo zusammen!
bracuhe mal hilfe bei folgender Aufgabe.
und zwar soll für eine nxn-Matrix A gelten A*A=A.
Nun soll ich zeigen dass A diagonalisierbar ist.
muss jetzt wahrscheinlich erst mal die eigenwerte ausrechnen oder?wie mach ich das, welche sind das und wie gehts dann weiter?
bitte um hilfe und wäre dafür echt dankbar.
Mfg mikke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 So 30.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Mikke!
> bracuhe mal hilfe bei folgender Aufgabe.
> und zwar soll für eine nxn-Matrix A gelten A*A=A.
> Nun soll ich zeigen dass A diagonalisierbar ist.
> muss jetzt wahrscheinlich erst mal die eigenwerte
> ausrechnen oder?wie mach ich das, welche sind das und wie
> gehts dann weiter?
Sei [mm] $\lambda$ [/mm] ein Eigenwert und $v$ ein Eigenvektor zu [mm] $\lambda$. [/mm] Dann ist [mm] $\lambda [/mm] v = A v = [mm] A^2 [/mm] v = A (A v) = A [mm] \lambda [/mm] v = [mm] \lambda [/mm] A v = [mm] \lambda^2 [/mm] v$, womit [mm] $\lambda \in \{ 0, 1 \}$ [/mm] sein muss.
Setze mal $U := [mm] \ker [/mm] A$ und $V := Im [mm] \; [/mm] A$. Zeige, dass [mm] $K^n [/mm] = U [mm] \oplus [/mm] V$ ist und insbesondere $V = Eig(1, A)$. Daraus folgt dann insbesondere, dass $A$ diagonalisierbar ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 So 30.04.2006 | | Autor: | Mikke |
[mm] \lambda [/mm] v = A v = [mm] A^2 [/mm] v = A (A v) = A [mm] \lambda [/mm] v = [mm] \lambda [/mm] A v = [mm] \lambda^2 [/mm] v
kannst du viellecicht die schritte etwa erläutern?
zum beispiel warum [mm] \lambda [/mm] v = A v ist, das verstehe ich noch nicht so ganz...
und was [mm] \lambda \in [/mm] {0,1} bedeutet?
trotzdem danke schon mal.
gruß mikke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 So 30.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Mikke!
> [mm]\lambda[/mm] v = A v = [mm]A^2[/mm] v = A (A v) = A [mm]\lambda[/mm] v = [mm]\lambda[/mm] A
> v = [mm]\lambda^2[/mm] v
> kannst du viellecicht die schritte etwa erläutern?
> zum beispiel warum [mm]\lambda[/mm] v = A v ist, das verstehe ich
> noch nicht so ganz...
Weisst du was ein Eigenvektor zu einem Eigenwert ist?
> und was [mm]\lambda \in[/mm] {0,1} bedeutet?
Das bedeutet, dass [mm] $\lambda$ [/mm] entweder 0 oder 1 ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Di 02.05.2006 | | Autor: | Arnbert |
Hi!
Bin auch schon am Grübeln bei dieser aufgabe die ganze zeit. aber kannst du bitte mal erklären wie man die letzten beiden schritte die man noch beweisen muss, um vom eigenwert, der ja eins ist, auf die diagonalisierbarkeit der matrix A zu schließen.
Kriege die beweise nicht hin.wäre sehr nett.danke.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Di 02.05.2006 | | Autor: | felixf |
> Hi!
> Bin auch schon am Grübeln bei dieser aufgabe die ganze
> zeit. aber kannst du bitte mal erklären wie man die letzten
> beiden schritte die man noch beweisen muss, um vom
> eigenwert, der ja eins ist, auf die diagonalisierbarkeit
> der matrix A zu schließen.
Zeige doch mal, dass [mm] $K^n [/mm] = [mm] \ker [/mm] A [mm] \oplus \mathop{\mathrm{Im}} [/mm] A$ ist. Dazu benutze, dass zu $v [mm] \in K^n$ [/mm] der Vektor $A v$ in [mm] $\mathop{\mathrm{Im}} [/mm] A$ liegt und der Vektor $v - A v$ in [mm] $\ker [/mm] A$. (Denk an die Dimensionsformel, das liefert schonmal einen Grossteil der Behauptung.)
Wenn du das hast, zeige, dass [mm] $\mathop{\mathrm{Im}} [/mm] A = Eig(A, 1)$ ist.
Siehst du dann, dass du fertig bist?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 Mi 03.05.2006 | | Autor: | Arnbert |
wie komme ioch denn drauf dass das bild von A =Eig(A,1) ist?
komme da gar net weiter...
und wäre nett wenn du dann erklärst warum ich dann genau fertig bin.
danke
arne
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:27 Mi 03.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Arne!
> wie komme ioch denn drauf dass das bild von A =Eig(A,1)
> ist?
> komme da gar net weiter...
Rechne es doch mal nach! Also sei $v [mm] \in [/mm] Eig(A, 1)$. Dann gilt $v = A v$. ...
Sei $v [mm] \in \mathrm{Im} [/mm] A$. Dann gibt es ein $w [mm] \in [/mm] V$ mit $A w = v$. ...
> und wäre nett wenn du dann erklärst warum ich dann genau
> fertig bin.
Du hast $V = Eig(A, 0) [mm] \oplus [/mm] Eig(A, 1)$. Mehr verrate ich nicht.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:43 So 30.04.2006 | | Autor: | Mikke |
sorry mein fehler...hab es grad selbst nachvollzogen und das leitet sich ja alles direkt aus der definition ab..versuche jetzt den rest mal...wenn ich nicht weiterkomme melde ich mich einfach nochmal.bis denne
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