Diagonalisierbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:12 Do 17.04.2008 | | Autor: | alexwie |
| Aufgabe | Zeige: Eine lineare Funktion f : V -> V ist genau dann dia-
gonalisierbar, wenn f = [mm] \bruch{Spur(f)}{2} id_{V} [/mm] oder [mm] Spur(f)^2 [/mm] - 4det(f) [mm] \not=0
[/mm]
ist. |
Hallo.
Ich bräuchte einen kleinen Tipp für diese aufgabe. Welche Kriterien gibt es für Diagonalisierbarkeit? und wie kann ich diese hier einsetzten?
Lg Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Do 17.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Alex
> Zeige: Eine lineare Funktion f : V -> V ist genau dann
> dia-
> gonalisierbar, wenn f = [mm]\bruch{Spur(f)}{2} id_{V}[/mm] oder
> [mm]Spur(f)^2[/mm] - 4det(f) [mm]\not=0[/mm]
> ist.
Du hast hier zwei sehr, sehr wichtige Details weggelassen:
1) Was ist $V$? (Ein zweidimensionaler Vektorraum.)
2) Was ist der Grundkoerper? (Wohl die komplexen Zahlen oder ein sonstwie algebraisch abgeschlossener Koerper.)
> Ich bräuchte einen kleinen Tipp für diese aufgabe. Welche
> Kriterien gibt es für Diagonalisierbarkeit?
Das solltest du mit deinem Skript selber beantworten sollen. Stichwort: char. Polynom, Eigenwerte, Eigenraeume.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Do 17.04.2008 | | Autor: | alexwie |
Also mit V ist ein endlicher Vektorraum (nichts weiter) und K ein beliebiger Körper(ganz egal ob C, R, [mm] Q,Z_2 [/mm] ....). ich weiß dass ich zeigen muss dass es dim(V) verschiedene Eigenwerte gibt und dass Summe bzw Produkt der Eigenwerte Spur bzw Determinante der linearen Funktion sind.
LG Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Do 17.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Alex
> Also mit V ist ein endlicher Vektorraum (nichts weiter) und
> K ein beliebiger Körper(ganz egal ob C, R, [mm]Q,Z_2[/mm] ....). ich
> weiß dass ich zeigen muss dass es dim(V) verschiedene
> Eigenwerte gibt und dass Summe bzw Produkt der Eigenwerte
> Spur bzw Determinante der linearen Funktion sind.
In diesem Fall ist die zu beweisende Aussage schlichtweg falsch. Damit sie gilt, muss [mm] $\dim [/mm] V = 2$ sein und $K$ quadratisch abgeschlossen sein (d.h. jedes quadratische Polynom ueber $K$ hat bereits eine Nullstelle in $K$).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Do 17.04.2008 | | Autor: | m_s |
Ich kenne diese Aufgabe und es handelt sich um einen 2-dimensionalen komplexen Vektorraum.
Tipp zur 2 Behautung: Eigentlich muss man nur das charakteristische Polynom "ausrechnen" --> dann erhält man schon die angegeben Formel.
Zur 1. Behauptung kann ich nichts sagen.
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