Diagonalisierbarkeit < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo Zusammen,
wir hatten eine Aufgabe in der das Minimalpolynom und das charak. Polynom gegeben war:
[mm] m_{A}=(x-1)(x+1)
[/mm]
[mm] p_{A}=(x-1)^{2}(x+1)
[/mm]
und unser dozent hatte uns gesagt, dass daraus schon die diagonalisierbarkeit von A folgt, was heißt, dass wir [mm] S^{-1}*A*S=D [/mm] berechnen können.
Meine Frage nun, warum kann ich die diag'barkeit schon aus den beiden Polynomen herauslesen?
Beste Grüße
Kano
|
|
| |
|
Hallo,
ihr habt bestimmt die Jordan-Form in der Vorlesung behandelt. Nun haben wir als charakteristisches Polynom:
$ [mm] p_{A}=(x-1)^{2}(x+1) [/mm] $
Jetzt überlegen wir mal, was das für die Jordanform bedeutet. Wir haben offenbar zwei verschiedene Eigenwerte:
[mm] $\lambda_{1}=-1$ [/mm] und [mm] $\lambda_{2,3}=1$
[/mm]
Wir haben also einen Block der Größe $1 [mm] \times [/mm] 1$ in der Jordanform zum Eigenwert $-1$, das kann man sich so überlegen, dass ähnliche Matrizen ja das gleiche charakteristische Polynom haben und die Jordanform ja ähnlich ist zu $A$.
Das charakteristische Polynom einer Jordanform ergibt sich aus den charakteristischen Polynomen der einzelnen Blöcke(Wie sieht so ein Block-charakteristisches Polynom aus?).
Jetzt überleg mal, welche Möglichkeiten man für die Blockgrößen für den Eigenwert $1$ hat
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Mi 06.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Ohne Jordan - Schnickschnack:
aus
$ [mm] m_{A}=(x-1)(x+1) [/mm] $
folgt (A-E)(A+E)=0 (E= Einheitsmatrix) und somit:
[mm] $\IR^n= [/mm] Kern(A-E) [mm] \oplus [/mm] Kern(A+E)$
(ich nehm einfach mal den [mm] \IR^n, [/mm] da Du nicht verraten hast, welcher Körper zugrunde liegt)
Ist nun [mm] B_1 [/mm] eine Basis von Kern(A-E) und [mm] B_2 [/mm] eine Basis von Kern(A+E) , so ist
[mm] $B:=B_1 \cup B_2$
[/mm]
eine Basis des [mm] \IR^n [/mm] aus Eigenvektoren von A.
FRED
|
|
|
| |
|
Alles klar, danke, das habe ich soweit verstanden...
dennoch ist mir noch nicht ganz klar, weshalb ich jetzt auf die dig'barkeit der Matrix A schließen kann...
|
|
|
| |
|
> dennoch ist mir noch nicht ganz klar, weshalb ich jetzt auf
> die dig'barkeit der Matrix A schließen kann...
Hallo,
A hat die Eigenwerte 1 und -1.
Du weißt inzwischen: $ [mm] \IR^n= [/mm] Kern(A-E) [mm] \oplus [/mm] Kern(A+E) $.
Es ist also [mm] \IR^n [/mm] die direkte Summe der Eigenräume.
Und was bedeutet das? Es gibt eine Basis des [mm] \IR^n, [/mm] welche aus ... besteht.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
