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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Di 27.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Folgende Aufgabe:
Sind die folgenden Matrizen diagonalisierbar?
[mm] \pmat{1&2&0&4\\0&2&3&1\\0&0&3&0\\0&0&0&3}, \pmat{-5&0&7\\6&2&-6\\-4&0&6}, \pmat{2&1&2\\-2&-2&-6\\1&2&5}
[/mm]
Bei der ersten habe ich berechnet: die Eigenwerte sind:
[mm] \{1,2,3,3\} [/mm] (das braucht niemand nachzurechnen, das habe ich mit dem Eigenwertrechner ![[]](/images/popup.gif) hier nachgerechnet.  )
da 3 eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, kann es sein, dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist. Also berechne ich dim Eig(F;3) - ist das =2? Sorry, das habe ich gerade leider vergessen, wie man das macht. Also von den vier Gleichungen mit vier Unbekannten fallen dann zwei weg, da sie immer erfüllt sind. Dann habe ich noch zwei Gleichungen übrig und vier Unbekannte. Ist dann die Dimension =2?
Wenn ja, dann wäre diese Matrix diagonalisierbar - andernfalls nicht.
Bei der zweiten erhalte ich als Eigenwerte: [mm] \{-1,2,2\}. [/mm] Gleiches Spiel wie oben - dim Eig(F;2)=1 (?) dann ist diese Matrix nicht diagonalisierbar, da 2 eine doppelte Nullstelle des CP ist.
Bei der dritten sind die Eigenwerte: [mm] \{1,2,2\}. [/mm] dim Eig(F;2)=1 (?), also ist auch diese Matrix nicht diagonalisierbar.
Könnte das vielleicht mal jemand korrigeren?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 Di 27.09.2005 | | Autor: | bazzzty |
> Sind die folgenden Matrizen diagonalisierbar?
>
> [mm]\pmat{1&2&0&4\\0&2&3&1\\0&0&3&0\\0&0&0&3}[/mm]
>
> Bei der ersten habe ich berechnet: die Eigenwerte sind:
>
> [mm]\{1,2,3,3\}[/mm] (das braucht niemand nachzurechnen, das habe
> ich mit dem Eigenwertrechner
>
> da 3 eine doppelte Nullstelle des charakteristischen
> Polynoms ist, kann es sein, dass die Matrix nicht
> diagonalisierbar ist. Also berechne ich dim Eig(F;3) - ist
> das =2?
In dem Fall reicht scharfes Hinsehen:
Den Eigenwerten zufolge hat der Hauptraum die Dimension 2, und da man leicht zwei unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert 3 angeben kann, hat also schon der Eigenraum die Dimension zwei, insgesamt ist die Matrix also diagonalisierbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Di 27.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Du musst eben untersuchen, wie groß die Dimension des Eigenraumes von den mehrfachen Eigenwerten [mm] $\lambda$ [/mm] ist, also die Dimension von
$Kern(A - [mm] \lambda \cdot E_n)$
[/mm]
für die mehrfachen Eigenwerte [mm] $\lambda$.
[/mm]
Dies machst du so: Bestimme (etwa mit dem Gauß-Algorithmus) den Rang von [mm] $A-\lambda \cdot E_n$. [/mm] Dann gilt mit dem Dimensionssatz:
[mm] $\dim(Kern(A- \lambda \cdot E_n)) [/mm] = n - Rang(A - [mm] \lambda \cdot E_n)$.
[/mm]
Willst du das mal selber versuchen?
Übrigens braucht man für die erste Aufgabe keinen Eigenwertrechner.  Bei einer oberen (oder unteren) Dreiecksmatrix findet man die Eigenwerte immer auf der Diagononalen...
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Di 27.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Mir ist zwar im Moment noch nicht klar, was das mit dem
> Kern zu tun hat, aber wahrscheinlich habe ich nur gerade
> ein Brett vorm Kopf. Werde da nachher nochmal drüber
> nachdenken - habe da ja bei der anderen Aufgabe auch noch
> genug Zeit zu.
Nun, das ist schlicht die Definition des Eigenraums:
[mm] $Eig(A;\lambda) [/mm] = Kern(A - [mm] \lambda \cdot E_n)$. [/mm]
> Also bei der ersten erhalte ich dann:
>
> [mm]Rang(A-3*E_n)=2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also dim [mm]Kern(A-3E_n)=2[/mm] - somit ist die Matrix
> diagonalisierbar, wie ich bereits herausgefunden hatte.
> Bei der zweiten erhalte ich:
>
> [mm]Rang(A-2*E_n)=1[/mm]
> Also dim [mm]Kern(A-2E_n)=2[/mm] - somit ist auch diese Matrix
> diagonalisierbar.
> Und bei der dritten:
>
> [mm]Rang(A-2*E_n)=2[/mm]
> Also dim [mm]Kern(A-2E_n)=1[/mm] - somit ist diese Matrix nicht
> diagonalisierbar.
> Noch eine kleine Frage, die mir wahrscheinlich eigentlich
> auch klar sein müsste: Wenn die Eigenvektoren zu dem
> "kritischen" Eigenwert linear unabhängig sind - dann ist
> die Matrix diagonalisierbar - kann das sein?
Nehmen wir an, der Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] hat die algebraische Vielfachheit $k$. Das heißt: [mm] $\lambda$ [/mm] ist eine $k$-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Dann muss der Eigenraum [mm] $Eig(A,\lambda)$ [/mm] auch $k$-dimensional sein, d.h. [mm] $\lambda$ [/mm] muss $k$ linear unabhängige Eigenvektoren besitzen. Wenn das für alle Eigenwerte von $A$ so der Fall ist, dann ist $A$ diagonalisierbar.
> Und da ist mir gerade noch eine ganz doofe Frage gekommen:
> sind [mm]\vektor{0\\1\\0}[/mm] und [mm]\vektor{0\\0\\0}[/mm] linear
> abhängig?
Ja, natürlich. Sobald der Nullvektor dabei ist, ist jede Familie linear abhängig. Hier gilt ja etwa:
$0 [mm] \cdot \pmat{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + 1 [mm] \cdot \pmat{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \pmat{0 \\ 0 \\ 0}$,
[/mm]
d.h. es gibt eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors, was gerade lineare Abhängigkeit bedeutet.
Liebe Grüße
Stefan
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![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]"){kind=small}
