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| Aufgabe | a)
Gegeben sei der [mm] \IQ [/mm] - Endomorphismus mit f : [mm] \IQ^3 \to \IQ^3 [/mm] mit [mm] {M_E}^E=\pmat{6 & -8 & 9 \\ 4 & 3 & 3 \\ 4 & 2 & 4}
[/mm]
Geben Sie eine Basis B von [mm] \IQ^3 [/mm] an, so dass [mm] {M_B}^B [/mm] eine Diagonalmatrix ist!
b)
Für welche a,b [mm] \in \IR [/mm] ist die Matrix [mm] \pmat{-3 & 0 & 0 \\ 2a & b & a \\ 10 & 0 & 2} [/mm] diagonalisierbar?
c)
Finden Sie eine Matrix M [mm] \in Mat_3(\IF_3), [/mm] die keine Eigenwerte hat! |
Hallo, habe mal ein paar Veständnisfragen kurz vor der Klausur 
Also zu Aufgabe a) genügt es doch eigentlich die Eigenwerte zu berechnen (1,4 und 8), dann zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor zu berechen und diese spaltenweise in eine Matrix zu packen, dann ist das doch die Basis bzgl. dieser die Darstellungsmatrix Diagonalgestalt hat, oder sehe ich das falsch???
Zu b) Tja, also hier stellt sich zunächst die Frage, wann ist eine Matrix diagonalisierbar? Also Grundvoraussetzung ist dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, das char. Polynom ist [mm] x^3-(b-1)x^2+(6+b)x-6b, [/mm] aber wann zerfällt dies Polynom in Linearfaktoren? Und was muss danach noch gelten, damit die Matrix diagonalisierbar ist?
Zu c) Auch hier erstmal eine Verständnisfrage: Was genau bedeutet KEINE Eigenwerte, das bedeutet doch im Prinzip wieder, dass das charakteristische Polynom keine Nullstellen hat, oder nicht? Aber wie findet man ein solches Polynom im [mm] \IF_3 [/mm] ? Ich meine [mm] x^2+1 [/mm] hat ja im [mm] \IF_3 [/mm] auch Nullstellen (weil +1 = -2 im [mm] \IF_3 [/mm] gilt, daher [mm] x^2=2 [/mm] und x = [mm] \pm \wurzel{2})???
[/mm]
Vielen Dank im Voraus.
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> a)
> Gegeben sei der [mm]\IQ[/mm] - Endomorphismus mit f : [mm]\IQ^3 \to \IQ^3[/mm]
> mit [mm]{M_E}^E=\pmat{6 & -8 & 9 \\ 4 & 3 & 3 \\ 4 & 2 & 4}[/mm]
>
> Geben Sie eine Basis B von [mm]\IQ^3[/mm] an, so dass [mm]{M_B}^B[/mm] eine
> Diagonalmatrix ist!
>
> b)
> Für welche a,b [mm]\in \IR[/mm] ist die Matrix [mm]\pmat{-3 & 0 & 0 \\ 2a & b & a \\ 10 & 0 & 2}[/mm]
> diagonalisierbar?
>
> c)
> Finden Sie eine Matrix M [mm]\in Mat_3(\IF_3),[/mm] die keine
> Eigenwerte hat!
> Hallo, habe mal ein paar Veständnisfragen kurz vor der
> Klausur
>
> Also zu Aufgabe a) genügt es doch eigentlich die Eigenwerte
> zu berechnen (1,4 und 8), dann zu jedem Eigenwert einen
> Eigenvektor zu berechen
Hallo,
genau.
Hier ist die Sache sehr einfach: Du hast drei verschiedene Eigenwerte, berechnest zu ihnen jeweils einen Eigenvektor und hast mit diesen drei Eigenvektoren eine Basis B gefunden, bzgl. derer die darstellende Matrix Diagonalgstalt hat.
Was Du weiter unten schreibst mit "spaltenweise in Matrix" geht über diese Fragestellung bereits hinaus. Du kommst so zu den Transformationsmatrizen, welche hier gar nicht gefragt sind.
>und diese spaltenweise in eine
> Matrix zu packen, dann ist das doch die Basis bzgl. dieser
> die Darstellungsmatrix Diagonalgestalt hat, oder sehe ich
> das falsch???
>
> Zu b) Tja, also hier stellt sich zunächst die Frage, wann
> ist eine Matrix diagonalisierbar? Also Grundvoraussetzung
> ist dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren
> zerfällt,
Ja, das ist eine Grundvoraussetzung, aber es geht darüber hinaus:
das charakteristische Polynom muß für Diagonalisierbarkeit in Linearfaktoren zerfallen und außerdem müssen alg. und geom. Vielfachheit eines jeden Eigenwertes übereinstimmen.
> das char. Polynom ist [mm]x^3-(b-1)x^2+(6+b)x-6b,[/mm]
Ich glaube, hier warst Du etwas übereifrig.
Wenn man [mm] det\pmat{-3-x & 0 & 0 \\ 2a & b-x & a \\ 10 & 0 & 2-x} [/mm] mit der Sarrusschen Regel berechnet, erhält man
X(x)=(-3-x)(b-x)(2-x)=-(x+3)(x-b)(x-2), und hat die allerschönsten Linearfaktoren.
An dieser Stelle kannst Du nun weiterüberlegen.
> aber wann zerfällt dies Polynom in Linearfaktoren? Und was
> muss danach noch gelten, damit die Matrix diagonalisierbar
> ist?
>
> Zu c) Auch hier erstmal eine Verständnisfrage: Was genau
> bedeutet KEINE Eigenwerte, das bedeutet doch im Prinzip
> wieder, dass das charakteristische Polynom keine
> Nullstellen hat, oder nicht?
Genau.
> Aber wie findet man ein
> solches Polynom im [mm]\IF_3[/mm] ?
Ich habe eins gefunden: [mm] 2x^3+2x^2+2x+1, [/mm] normiert: [mm] x^3+x^2+x+2.
[/mm]
Aber man bräuchte ja noch die Matrix dazu. Hier müßte ich nochmal überlegen...
Gruß v. Angela
I
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Di 07.08.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> > Aber wie findet man ein
> > solches Polynom im [mm]\IF_3[/mm] ?
>
> Ich habe eins gefunden: [mm]2x^3+2x^2+2x+1.[/mm]
Oder normiert: [mm] $x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + x + 2$.
> Aber man bräuchte ja noch die Matrix dazu. Hier müßte ich
> nochmal überlegen...
Das Stichwort dazu heisst ![[]](/images/popup.gif) Begleitmatrix. :)
LG Felix
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> Das Stichwort dazu heisst
> Begleitmatrix.
> :)
Oh, danke!
(Als ich Deinen Namen sah, wußte ich, daß Du es sofort wissen würdest...)
Gruß v. Angela
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Hallo, erstmal danke für die Antwort(en). Zu aufgabe a ist soweit alles klar, zu aufgabe b) schreib ich jetzt einfach mal was mir spontan dazu einfällt:
Also der Wert a scheint ja irrelevant zu sein und zum char.Poly -(x+3)(x-b)(x-2) : also wenn b = 2 wäre, dann müsste der Eigenraum zum EW 2 auch Dimension 2 haben (weils ja 2 Eigenwerte gibt die = 2 sind), wenn er -3 ist dann muss halt der Eigenraum zu -3 2-dimensional sein, wenn b einen anderen wert hat, hat er halt seinen eigenen Eigenraum...ok aber wann ist die Matrix nicht diagonalisierbar? Hängt es nur mit der Dimension zusammen (also mit der Vielfachheit)?
Zu aufgabe c) sehr schön, aber wie bist du auf das Polynom gekommen? geraten? Und zur Begleitmatrix: cool!
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>zu aufgabe b) schreib ich jetzt einfach
> mal was mir spontan dazu einfällt:
> Also der Wert a scheint ja irrelevant zu sein
Hallo,
ich habe die Aufgabe nicht durchgerechnet, aber ich glaube nicht, daß es irrelevant ist, was man für a einsetzt.
Allerdings spielt a fürs charakteristische Polynom keine Rolle.
> und zum
> char.Poly -(x+3)(x-b)(x-2) : also wenn b = 2 wäre, dann
> müsste der Eigenraum zum EW 2 auch Dimension 2 haben (weils
> ja 2 Eigenwerte gibt die = 2 sind), wenn er -3 ist dann
> muss halt der Eigenraum zu -3 2-dimensional sein, wenn b
> einen anderen wert hat, hat er halt seinen eigenen
> Eigenraum...
Festhalten kann man also schonmal: wenn [mm] b\not\in \{-3,2}, [/mm] dann ist die Matrix diagonalisierbar, denn den Eigenräumen bleibt ja gar nichts anderes übrig, als daß ihre Dimension =1 ist, also gleich der alg. Vielfachheit der Eigenwerte.
Für [mm] b\in \{-3,2} [/mm] bringst Du es ja nun selbst auf den Punkt: Du mußt nachschauen, wie es für b=-3 und b=2 mit der Dimension der zugehörigen Eigenräume bestellt ist, und ich vermute sehr stark, daß hier dann der Wert von a zum Tragen kommt.
> ok aber wann ist die Matrix nicht
> diagonalisierbar? Hängt es nur mit der Dimension zusammen
> (also mit der Vielfachheit)?
Ja.
> Zu aufgabe c) sehr schön, aber wie bist du auf das Polynom
> gekommen? geraten?
Klar!!!
Gruß v. Angela
>Und zur Begleitmatrix: cool!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:13 Do 09.08.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Zu aufgabe c) sehr schön, aber wie bist du auf das Polynom
> > gekommen? geraten?
>
> Klar!!!
Das ist auch die Standardmethode :)
Um sich das Raten etwas einfacher zu machen, kann man wie folgt vorgehen: du willst ein Polynom der Form [mm] $x^3 [/mm] + a [mm] x^2 [/mm] + b x + c$ mit $a, b, c [mm] \in \IF_3$, [/mm] dass keine Nullstellen in [mm] $\IF_3$ [/mm] hat.
Wenn du jetzt fuer $x = 0, 1, 2$ (die Werte die gehen) jeweils die Potenzen [mm] $x^3, x^2, [/mm] x, [mm] x^0$ [/mm] aufschreibst, bekommst du: [mm] $\pmatrix{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 1}$. [/mm] Wenn du jetzt diese Matrix mit dem Vektor [mm] $\pmatrix{ 1 \\ a \\ b \\ c }$ [/mm] multiplizierst, bekommst du das Polynom [mm] $x^3 [/mm] + a [mm] x^2 [/mm] + b x + c$ ausgewertet an den Stellen $0, 1, 2$. Du suchst also $a, b, c$ so, dass der Ergebnisvektor keinen Eintrag mit 0 hat.
Hier kommt man gut durch hingucken weiter: du nimmst einmal die Spalte mit [mm] $x^3$, [/mm] ziehst einmal die Spalte mit [mm] $x^2$ [/mm] ab, und addierst die Spalte mit [mm] $x^0$ [/mm] hinzu. Der Ergebnisvektor ist [mm] $\pmatrix{ 1 \\ 1 \\ 2 }$, [/mm] also ok, und das zugehoerige Polynom ist [mm] $x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] + 1$.
(Fuer [mm] $\IF_p$ [/mm] mit $p$ nicht zu gross, sagen wir mal [mm] $\le [/mm] 5$, ist dies eindeutig die einfachste Moeglichkeit...)
Und noch ein kleiner Zusatz: wenn du in [mm] $\IF_p[x]$ [/mm] ein zufaelliges Polynom von Grad $n$ nimmst, dann ist die Wahrschienlichkeit, dass dieses unzerlegbar ist (also fuer $n > 1$ insb. keine Nullstellen hat) zwischen [mm] $\frac{1}{2 n}$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{n}$. [/mm] Wenn du einfach raetst, brauchst du also im Mittel weniger als $2 n$ Versuche bis du ein passendes Polynom gefunden hast.
LG Felix
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