Diagonalisierung/Trigonalisier < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Fr 11.04.2008 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | a) Ist die lineare Abbildung
[mm] \IR^4 \to \IR^4, (x_1,x_2,x_3,x_4) \mapsto (2x_1,2x_2,x_1 -2x_2 -x_4,2x_1 -4x_2 [/mm] + [mm] x_3)
[/mm]
trigonalisierbar? Ist sie diagonalisierbar?
b) Ist die lineare Abbildung
[mm] \IC^4 \to \IC^4, (x_1,x_2,x_3,x_4) \mapsto (2x_1,2x_2,x_1 -2x_2 -x_4,2x_1 -4x_2 [/mm] + [mm] x_3)
[/mm]
trigonalisierbar? Ist sie diagonalisierbar?
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a) Zunächst habe ich die darstellende Matrix [mm] M_{f,A,A} [/mm] bestimmt (bezüglich der Standardbasis des [mm] \IR^4).
[/mm]
[mm] M_{f,A,A} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & -1 \\ 2 & -4 & 1 & 0}
[/mm]
---
Zunächst habe ich die Eigenwerte via charakteristisches Polynom ermittelt:
[mm] cp_f [/mm] = [mm] (\lambda [/mm] -2)² * [mm] (\lambda² [/mm] + 1)
[Zwischenergebnis: Das charakteristische Polynom ist in Linearfaktoren zerlegbar, also ist die Abbildung trigonalisierbar]
Die einzige Nullstelle ist hier 2 (algebraische Vielfachheit ebenfalls 2, da zwei mal vorkommend, oder?)
---
Im nächsten Schritt steht die Bestimmung des Eigenraums an:
[mm] \pmat{ 2-2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2-2 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & -2 & -1 \\ 2 & -4 & 1 & -2} [/mm] = ... = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Eig(f,2) = [mm] \{ x_2 \vektor{2\\1\\0\\0} + x_4 \vektor{1\\0\\0\\1} | x_2,x_4 \in \IR \}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] für alle v [mm] \in [/mm] Eig(f,2) ist v Eigenvektor zum Eigenwert 2.
Der Eigenraum hat die Dimension 2, demnach wären algebraische und geometrische Vielfachheit identisch und somit die Abbildung diagonalisierbar?
Wäre für eine Korrekturlesung meines Rechenweges so weit sehr dankbar. :)
Wer möchte, kann mir auch gerne bei der b) auf die Sprünge helfen. ;)
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b)
Hier habe ich folgendes Problem: Im Körper der komplexen Zahlen ist ja jede Zahl selbst "zweidimensional", bestehend aus Realteil und Imaginärteil.
Ich bin mir unschlüssig, ob ich dennoch die Standardbasis des [mm] \IR^4 [/mm] auch hier verwenden kann.
Theoretisch (soweit meine Überlegungen, aktueller Stand) müsste das gehen, betrachte ich die Einsen der Standardbasis selbst wieder als komplexe Zahlen mit Real- und Imaginärteil.
Dann würde die Rechnung bis hin zum charakteristischen Polynom identisch ablaufen (es wird ja soweit nur addiert/subtrahiert, jedenfalls nichts insoweit quadriert, dass der Imaginärteil die Rechnung beeinflussen würde, wenn ich mich soweit nicht irre).
Hier finde ich dann allerdings neben der 2 auch noch i als Nullstelle (einmal vorkommend).
Die 2 hat die algebraische Häufigkeit 2 und die geometrische Häufigkeit 2.
i hat die algebraische Häufigkeit 1 und muss somit auch die geometrische Häufigkeit 1 haben, oder?
Ich meine irgendwo gelesen zu haben, dass 1 [mm] \le [/mm] geom. Vielf. [mm] \le [/mm] algeb. Vielf. gilt, finde diesen Passus leider nirgendswo in meinen Unterlagen wieder.
Aber wäre damit nicht meine Rechnung schon beendet? Denn auch b) wäre trigonalisierbar (alles andere würde mich auch schwer wundern, da in einem meiner schlauen Bücher drin steht, dass jeder Endomorphismus eines endlich-dimensionalen komplexen Vektorraumes trigonalisierbar ist).
Und zudem auch diagonalisierbar, da alg. Vielfachheit = geom. Vielfachheit für alle Eigenwerte gilt? Bei 2 = 2 und bei i = 1?
Oder wird hier nicht nach einzelnen Eigenwerten unterschieden, sondern die Gesamtheit betrachtet - wenn ja, wie?
Viele Grüße und ein dickes Danke im Voraus.
Maraq
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> a) Ist die lineare Abbildung
>
> [mm]\IR^4 \to \IR^4, (x_1,x_2,x_3,x_4) \mapsto (2x_1,2x_2,x_1 -2x_2 -x_4,2x_1 -4x_2[/mm]
> + [mm]x_3)[/mm]
>
> trigonalisierbar? Ist sie diagonalisierbar?
>
> b) Ist die lineare Abbildung
>
> [mm]\IC^4 \to \IC^4, (x_1,x_2,x_3,x_4) \mapsto (2x_1,2x_2,x_1 -2x_2 -x_4,2x_1 -4x_2[/mm]
> + [mm]x_3)[/mm]
>
> trigonalisierbar? Ist sie diagonalisierbar?
>
> a) Zunächst habe ich die darstellende Matrix [mm]M_{f,A,A}[/mm]
> bestimmt (bezüglich der Standardbasis des [mm]\IR^4).[/mm]
>
> [mm]M_{f,A,A}[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & -1 \\ 2 & -4 & 1 & 0}[/mm]
>
> ---
>
> Zunächst habe ich die Eigenwerte via charakteristisches
> Polynom ermittelt:
>
> [mm]cp_f[/mm] = [mm](\lambda[/mm] -2)² * [mm](\lambda²[/mm] + 1)
>
> [Zwischenergebnis: Das charakteristische Polynom ist in
> Linearfaktoren zerlegbar, also ist die Abbildung
> trigonalisierbar]
Hallo,
eben nicht. [mm] \lambda² [/mm] + 1 ist kein linearer Faktor, sondern quadratisch.
Und Du kannst dieses [mm] \lambda² [/mm] + 1 über [mm] \IR [/mm] auch nicht in Linearfaktoren zerlegen, denn [mm] \lambda² [/mm] + 1 hat ja keine Nullstelle in [mm] \IR. [/mm]
Also ist die Matrix nicht trigonalisierbar über [mm] \IR.
[/mm]
>
> Die einzige Nullstelle ist hier 2 (algebraische
> Vielfachheit ebenfalls 2, da zwei mal vorkommend, oder?)
Richtig.
>
> ---
>
> Im nächsten Schritt steht die Bestimmung des Eigenraums
> an:
>
> [mm]\pmat{ 2-2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2-2 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & -2 & -1 \\ 2 & -4 & 1 & -2}[/mm]
> = ... = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Eig(f,2) = [mm]\{ x_2 \vektor{2\\1\\0\\0} + x_4 \vektor{1\\0\\0\\1} | x_2,x_4 \in \IR \}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] für alle v [mm]\in[/mm] Eig(f,2) ist v Eigenvektor zum
> Eigenwert 2.
Richtig, wenn auch für die Aufgabenstellung überflüssig.
___________________________________________
>
> b)
>
> Hier habe ich folgendes Problem: Im Körper der komplexen
> Zahlen ist ja jede Zahl selbst "zweidimensional", bestehend
> aus Realteil und Imaginärteil.
> Ich bin mir unschlüssig, ob ich dennoch die Standardbasis
> des [mm]\IR^4[/mm] auch hier verwenden kann.
Ich verstehe Deine Gedanken.
Es kommt darauf an, ob Du [mm] \IC [/mm] als Vektorraum über [mm] \IR [/mm] oder über [mm] \IC [/mm] betrachtest.
Betrachtest Du [mm] \IC [/mm] als Vektorraum über [mm] \IR, [/mm] so ist in der Tat (1,i) eine Basis, also ein zweidimensionaler Raum.
Betrachtest Du hingegen [mm] \IC [/mm] als Vektorraum über [mm] \IC, [/mm] so ist (1) eine Basis, denn Du kannst ja jede komplexe Zahl als Linearkombination c*1 mit [mm] c\in \IC [/mm] schreiben.
>
> Theoretisch (soweit meine Überlegungen, aktueller Stand)
> müsste das gehen, betrachte ich die Einsen der
> Standardbasis selbst wieder als komplexe Zahlen mit Real-
> und Imaginärteil.
Hier sollst Du den [mm] \IC^4 [/mm] als VR über C nehmen, also mit der gewohnten Standardbasis.
Weil Du nun die Sache über [mm] \IC [/mm] betrachtest, sind auch komplexe Eigenwerte zugelassen.
>
> Hier finde ich dann allerdings neben der 2 auch noch i als
> Nullstelle (einmal vorkommend).
Ja.
Damit ist [mm] p(x)=(x-2)^2(x-i)(x+i) [/mm] Dein charakteristisches Polynom.
Das charakteristische Polynom zerfällt, also ist die Matrix über [mm] \IC [/mm] trigonalisierbar.
>
> Die 2 hat die algebraische Häufigkeit 2 und die
> geometrische Häufigkeit 2.
Letzteres hattest Du bei a) ausgerechent. Das heißt übrigens "Vielfachheit".
> i hat die algebraische Häufigkeit 1 und muss somit auch
> die geometrische Häufigkeit 1 haben, oder?
Richtig, und für -i gilt das entsprechend.
> Ich meine irgendwo gelesen zu haben, dass 1 [mm]\le[/mm] geom.
> Vielf. [mm]\le[/mm] algeb. Vielf. gilt, finde diesen Passus leider
> nirgendswo in meinen Unterlagen wieder.
Die Vielfachheit eines Eigenwertes kann nicht kleiner als 1 sein, denn zum Eigenwert gehört ja ein von 0 verschiedener Eigenvektor, also ist die Dim. des Eigenraumes mindestens 1.
>
> Aber wäre damit nicht meine Rechnung schon beendet? Denn
> auch b) wäre trigonalisierbar (alles andere würde mich auch
> schwer wundern, da in einem meiner schlauen Bücher drin
> steht, dass jeder Endomorphismus eines
> endlich-dimensionalen komplexen Vektorraumes
> trigonalisierbar ist).
>
> Und zudem auch diagonalisierbar, da alg. Vielfachheit =
> geom. Vielfachheit für alle Eigenwerte gilt? Bei 2 = 2 und
> bei i = 1?
und bei -i auch 1.
Davon, daß die geom. Vielfachheiten für i und -i beide 1 sind, kannst Du Dich natürlich rechnerisch auch überzeugen.
Du könntest ja mal die zugehörigen Eigenräume berechnen.
Gruß v. Angela
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