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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:08 So 24.01.2010 | | Autor: | muhmuh |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix
A =
[mm] \pmat{ 4 & 2 & -2 \\ 3 & 4 & -3 \\ 3 & 2 & -1}
[/mm]
(i) Berechnen Sie die Eigenwerte von A.
(ii) Konstruieren Sie eine Matrix S 2 GL(3,R) mit der Eigenschaft, dass [mm] S^{−1}AS [/mm] eine Diagonalmatrix
ist. |
Hallo!
ich komme mit der ii) dieser Aufgabe nicht klar.
Die Eigenwerte habe ich schon berechnet, diese sind 1,2 und 4.
Ich weiss, dass eine Diagonalmatrix eine Matrix ist, deren Einträge ausserhalb der Diagonalen null sind.
[mm] S^{-1} [/mm] bedeutet meines Wissens, dass dies die Inverse zu s ist.
Ich hatte schon überlegt, ob ich S als matrix mit lauter variablen annehme, dieses von rechts an A dran multipliziere
aber das ergbit schon eine richtig doofe matrix und die inverse von einer unbest. matrix kann man auch nciht bestimmen.
hat mir da jemand eine vorgehensweise?
vielen dank für die tips!
muhmuh
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:20 So 24.01.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
es geht auch ohne ne komplette [mm] $\times [/mm] 3$ Matrix S, wo du alle Eintraege als Variable ansiehst:
Wenn ihr schon Eigenwerte hattet, kannst du bestimmt auch die dazugehoerigen Eigenvektoren ausrechnen. Das ist dann der Nullraum von [mm] $A-\lambda_i \mathbf{1}$, [/mm] wobei [mm] $\mathbf{1}$ [/mm] die Einheitsmatrix ist. Wenn du dann als $S$ die Matrix der Eigenvektoren definierst, wird deine Matrix anschliessend diagonal sein, weil du dann $A$ in die Basis der Eigenvektoren gedreht hast, und $A$ dort diagonal ist, weil ja eben [mm] $A\mathbf{e_i}=\lambda_i\mathbf{e_i}$ [/mm] gilt, wobei [mm] $\mathbf{e_i}$ [/mm] der i-te Eigenvektor und [mm] $\lambda_i$ [/mm] der dazugehoerige Eigenvektor ist.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 So 24.01.2010 | | Autor: | muhmuh |
hallo!
hab das nun auch in meinem skript gefunden, hatte nicht gewusst dass dieses verfahren auf eine diagonalmatrix kommt...
ich stocke aber an einer stelle.
und zwar hab ich ja als eigenwerte nun 1,2 und 4 herausbekommen,
daher
nehme ich die matrizen:
(1* Einheitsmatrix³-A)
nach gauß komme ich dann auf folgende matrizen..:
Eigenwert 1: [mm] \pmat{ 1 & 0& 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
EIgenwert 2: [mm] \pmat{ 1 & 0& -1/5 \\ 0 & 1 & -6/5 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Eigenwert 4: [mm] \pmat{ 1 & 0& -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
bei uns im skript werden nun jeweils die basen berechnet und dann wird noch irgendwas gemacht und in eine gemeinsame matrix geschrieben, die dann die diagonalmatrix ist.
aber ich weiss nicht, wie ich nun auf die basen komme...
kann mir das jemand nochmal erklären, werde da aus dem skript nicht schlau...
danke!
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> hallo!
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> hab das nun auch in meinem skript gefunden, hatte nicht
> gewusst dass dieses verfahren auf eine diagonalmatrix
> kommt...
> ich stocke aber an einer stelle.
>
> und zwar hab ich ja als eigenwerte nun 1,2 und 4
> herausbekommen,
> daher
> nehme ich die matrizen:
> (1* Einheitsmatrix³-A)
>
> nach gauß komme ich dann auf folgende matrizen..:
>
> Eigenwert 1: [mm]\pmat{ 1 & 0& 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> EIgenwert 2: [mm]\pmat{ 1 & 0& -1/5 \\ 0 & 1 & -6/5 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Eigenwert 4: [mm]\pmat{ 1 & 0& -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
>
> bei uns im skript werden nun jeweils die basen berechnet
> und dann wird noch irgendwas gemacht und in eine gemeinsame
> matrix geschrieben, die dann die diagonalmatrix ist.
> aber ich weiss nicht, wie ich nun auf die basen komme...
Hallo,
hierzu mußt Du jeweils den Kern der drei Matrizenberechnen, die Kerne sind die jeweiligen Eigenräume.
Mach das erstmal, dann geht's weiter.
Gruß v. Angela
> kann mir das jemand nochmal erklären, werde da aus dem
> skript nicht schlau...
>
>
> danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 So 24.01.2010 | | Autor: | muhmuh |
ok den kern berechnen kann ich,
für EIgenwert 1 (ich numeriere die Matrizen mal mit B1...B3 durch)
jeweils 1 freiheitsgrad:
[mm] Ker(B_1) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm]
[mm] Ker(B_2) [/mm] = [mm] \vektor{1\\ 6 \\ 5}
[/mm]
[mm] Ker(B_3) [/mm] = [mm] \vektor{1\\ 1 \\ 1}
[/mm]
stimmt das so?
wie gehts nun weiter?
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> ok den kern berechnen kann ich,
>
> für EIgenwert 1 (ich numeriere die Matrizen mal mit
> B1...B3 durch)
>
> jeweils 1 freiheitsgrad:
>
> [mm]Ker(B_1)[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]Ker(B_2)[/mm] = [mm]\vektor{1\\ 6 \\ 5}[/mm]
Hallo,
der stimmt nicht.
Berechne nochmal A-2E, der Fehler scheint schon dort gewesen zu sein.
> [mm]Ker(B_3)[/mm] = [mm]\vektor{1\\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> stimmt das so?
>
> wie gehts nun weiter?
Du hast nun die drei Eigenvektoren [mm] b_1, b_2, b_3.
[/mm]
Stell sie nebeneinander in eine Matrix. Das ist die gesuchte Matrix S.
Wenn nichts falsch gerechnet ist, dann ergibt [mm] S^{-1}AS [/mm] eine Diagonalmatrix, die die Eigenwerte auf der Diagonalen hat.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 So 24.01.2010 | | Autor: | muhmuh |
ok ich hatte da einen fehler drin,
die neue [mm] B_2= \pmat{ 1& 0 & -1 \\ 0& 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
daher ist der kern: [mm] \vektor{1 \\ 0\\ 1}
[/mm]
die gesuchte matrix S ist ja nun:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 &1}
[/mm]
die transponierte ist:
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 &-1}
[/mm]
damit ist
[mm] s^{-1}*A*S [/mm] = [mm] \pmat{ 1& 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 &4}
[/mm]
und das ist eine diagonalmatrix!
vielen dank das ist ja echt nicht so schwer, aber bei uns im skript haben sie die zwischenschritte weggelassen und daher hab ich einfach ncihts mehr verstanden! nun geht es aber!
danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 So 24.01.2010 | | Autor: | muhmuh |
ist es zufall, dass gerade meine eigenwerte als die diagonaleinträge herauskommen?
bei uns im skript hatten wir eine 4 x 4 Matrix und dort kamen auch in den ersten beiden spalten der 1. eigenwert und dann in den letzten beiden spalten der andere eigenwert...
zufall?
weil ansonsten gäbe es ja einen schnelleren weg die diagonalmatrix zu bestimmen.
gibt es nicht auch irgendeinen satz mit der dimension, die dann aussagt ob es überhaupt eigenvektoren gibt?
die beantwortung der fragen würde mir sehr zum verständnis dieses ganzen themas beitragen:)
danke
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> ist es zufall, dass gerade meine eigenwerte als die
> diagonaleinträge herauskommen?
Hallo,
nein, das ist überhaupt kein Zufall.
Dieses [mm] S^{-1}AS [/mm] ist ja eine Basistransformation:
Wir haben eine Matrix A, welche Darstellungsmatrix eine linearen Abbildung [mm] f:\IR^3\to \IR^3 [/mm] bzgl der Standardbasis ist.
Du hast festgestellt: es gibt drei linear unabhängige Eigenvektoren. Also hat der [mm] \IR^3 [/mm] eine Basis, die aus Eigenvektoren von A besteht.
Die Diagonalmatrix ist die Darstellungsmatrix der Abbildung f bzgl der Basis B aus Eigenvektoren.
Wenn Du Dich erinnerst, daß in den Spalten der Darstellungsmatrix bzgl B in den Spalten die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl. B stehen, ist es kein Wunder, daß die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten herauskommt. (Überleg Dir das ganz in Ruhe.)
Die Matrix S ist die Transformationsmatrix [mm] _ET_B [/mm] für den Basiswechsel von von der Eigenbasis B zur Standardbasis E.
In "meiner" Schreibweise:
Es ist [mm] A=_EM(f)_E, [/mm] und man erhält die (Diagonal)Matrix [mm] _BM(f)_B [/mm] durch: [mm] _BM(f)_B=_BT_E*_EM(f)_E*_ET_B=(_ET_B)^{-1}*_EM(f)_E*_ET_B
[/mm]
Wir halten fest: Diagonalisierung ist ein Basiswechsel.
> weil ansonsten gäbe es ja einen schnelleren weg die
> diagonalmatrix zu bestimmen.
> gibt es nicht auch irgendeinen satz mit der dimension, die
> dann aussagt ob es überhaupt eigenvektoren gibt?
Diagonalisieren kann man nur, wenn man eine Basis aus Eigenvektoren hat.
Sofern das gegeben ist, ist es ohne Rechnung klar, wie die Diagonalmatrix aussehen wird.
Sofern sich jemand explizit für die Transformationsmatrix S interessiert und nicht nur für deren Existenz, kommst Du allerdings nicht umhin, sie auszurechnen.
Irgendwas wollte ich noch sagen... Achja:
Wenn Du also eine nxn-Matrix mit n verschiedenen Eigenwerten hast, kann es ja gar nicht anders sein, asl daß zu jedem ein Eigenvektor gehört. EVen zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig, also hast Du die Existenz einer Eigenbasis, damit die Diagonalisierbarkeit, und kannst die zugehörige Diagonalmatrix hinschreiben.
Gruß v. Angela
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