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| Aufgabe | Gegeben sei die reelle Matrix A = [mm] \pmat{ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 }
[/mm]
Berechnen Sie eine invertierbare Matrix S mit der Eigenschaft, dass [mm] S^{t}AS [/mm] eine Diagonalmatrix ist, wobei nur die Elemente 0 , 1 , -1 auf der Diagonalen stehen. |
Ich hab ein paar Probleme mit dieser Aufgabe. Wie muss ich vorgehen, damit so eine Diagonalmatrix entsteht? Bisher hab ich die Eigenwerte und zu diesen die Eigenvektoren bestimmt. Die Eigenwerte sind 0 und 3. Wie komm ich weiter?
Schon mal vielen Dank im Voraus.
Mit freundlichen Grüßen Jenni
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben sei die reelle Matrix A = [mm]\pmat{ 2 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2 }[/mm]
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> Berechnen Sie eine invertierbare Matrix S mit der
> Eigenschaft, dass [mm]S^{t}AS[/mm] eine Diagonalmatrix ist, wobei
> nur die Elemente 0 , 1 , -1 auf der Diagonalen stehen.
> Ich hab ein paar Probleme mit dieser Aufgabe. Wie muss ich
> vorgehen, damit so eine Diagonalmatrix entsteht? Bisher hab
> ich die Eigenwerte und zu diesen die Eigenvektoren
> bestimmt. Die Eigenwerte sind 0 und 3. Wie komm ich
> weiter?
> Schon mal vielen Dank im Voraus.
> Mit freundlichen Grüßen Jenni
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Entweder du diagonalisierst wie normal. Oder du führsz Zeilenumformungen an der Matrix.
[mm]\pmat{ 2 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2 }[/mm]
[mm]\underbrace{\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
1/2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 }}_{S_1^T}\pmat{ 2 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2 }\underbrace{\pmat{ 1 & 1/2 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 }}_{S_1}[/mm]
...
bis du auf Diagonalgestalt kommst.
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Was meinst du mit diagonalisierst wie normal? Das klappt ja hier iwie nicht, da ich die Eigenwerte 0 und 3 hab. Und so würde ich eine Diagonalmatrix bekommen die so aussieht D = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm] .
Wie genau kann ich die Zeilenumformungen die ich vollziehe in die Matrix S schreiben?
Mit freundlichen Grüßen Jenni
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Hallo Jenni,
> Was meinst du mit diagonalisierst wie normal? Das klappt ja
> hier iwie nicht, da ich die Eigenwerte 0 und 3 hab. Und so
> würde ich eine Diagonalmatrix bekommen die so aussieht D =
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm] .
> Wie genau kann ich die Zeilenumformungen die ich vollziehe
> in die Matrix S schreiben?
Ausgehend von der Einheitsmatrix aus:
[mm]Z:=\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
wird die Matrix A zunächst aus Zeilenstufenform gebracht,
wobei die Operationen, die mit der Matrix A durchgeführt werden,
auch mit der Matrix Z durchzuführen sind.
Am besten gehst Du dann von der Matrix
[mm]\pmat{1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1& 1 & 1 & 2}[/mm]
aus. Dann hast Du die Operationen nur einmal durchzuführen.
> Mit freundlichen Grüßen Jenni
Gruss
MathePower
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Hm ok, danke. Aber meines Erachtens hat die Matrix doch vollen Rang oder?
Wie schaff ich es das dann auf der 1. zeile und 1. Spalte nur Nullen stehn? Kann ich da einfach die 1. Zeile mit Null multiplizieren und du das etwaige ebenfalls bei der anderen Matrix?
Mit freundlichen Grüßen Jenni
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 So 01.05.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hm ok, danke. Aber meines Erachtens hat die Matrix doch
> vollen Rang oder?
> Wie schaff ich es das dann auf der 1. zeile und 1. Spalte
> nur Nullen stehn?
Mit dem [url0http://www.arndt-bruenner.de/mathe/9/lgsbsp2.htm]Gauß-Algorithmus[/url], eine weitere Erklärung gibt es hier
> Kann ich da einfach die 1. Zeile mit Null multiplizieren
> und du das etwaige ebenfalls bei der anderen
> Matrix?
Nein, eine Zeile mit Null multiplizieren ist keine elementare Umformung.
> Mit freundlichen Grüßen Jenni
Marius
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Ja das Verfahren ist mir bekannt. Ich schaff aber aber nur die Matrix A auf folgendes zu bringen A = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 }
[/mm]
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Hallo JenniferS,
> Ja das Verfahren ist mir bekannt. Ich schaff aber aber nur
> die Matrix A auf folgendes zu bringen A = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 }[/mm]
>
Dann poste Deine Rechenschritte dazu.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:37 So 01.05.2011 | | Autor: | JenniferS |
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 2 } [/mm] III + II -> [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 3 & 3 } [/mm] II + -2/3 *III -> [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1/3 & -2/3 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 3 & 3 } [/mm] I + 2*II -> [mm] \pmat{ 1 & 2/3 & -4/3 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1/3 & -2/3 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 3 & 3 } [/mm] III + 3*I und II+ -1*I -> [mm] \pmat{ 1 & 2/3 & -4/3 & 0 & -1 & -1 \\ -1 & -1/3 & 2/3 & -1 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & -3 & 0 & 0 & 0 } [/mm] Vertauschungen -> [mm] \pmat{ 3 & 3 & -3 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1/3 & 2/3 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 2/3 & -4/3 & 0 & -1 & -1 } [/mm] hoffe die Schritte genügen so
Mit freundlichen Grüßen Jenni
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Hallo JenniferS,
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 2 }[/mm]
> -> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 3 & 3 }[/mm]
> -> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1/3 & -2/3 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 3 & 3 }[/mm]
> -> [mm]\pmat{ 1 & 2/3 & -4/3 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1/3 & -2/3 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 3 & 3 }[/mm]
> -> [mm]\pmat{ 1 & 2/3 & -4/3 & 0 & -1 & -1 \\ -1 & -1/3 & 2/3 & -1 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & -3 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
> -> [mm]\pmat{ 3 & 3 & -3 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1/3 & 2/3 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 2/3 & -4/3 & 0 & -1 & -1 }[/mm]
> hoffe die Schritte genügen so
Die letzten 3 Spalten der Matrix
[mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 2 }[/mm]
sind doch durch entsprechende Zeilenmanipulationen
auf Zeilenstufenform zu bringen.
> Mit freundlichen Grüßen Jenni
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:04 So 01.05.2011 | | Autor: | JenniferS |
Ja weiter geht es bei mir nicht. Und ich habe ja immer auch meine Aufgabe vor Auge, das ich eine Diagonalmatrix mit 0 , 1 und -1 auf der Diagonalen hinbekomme.
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Vllt kann mir jemand noch ein Tipp geben, wie ich weiter machen kann.
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Die Idee von Mathepower ist nur die abgekürzte Version, die geschrieben hatte.
[mm]A:=\pmat{ 2 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2 }[/mm]
Also erste Zeile mal 0.5 auf die zweite Zeile.
erste Zeile mal -0.5 auf dritte Zeile.
Als Zeilenopertaion kann man das so schreiben:
[mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
1/2 & 1 & 0 \\
-1/2 & 0 & 1 }=:S_1^T[/mm]
Jetzt wendest du diese Matrix [mm]S_1^T[/mm] von Links als Zeilenoperation auf A an. Und gleich noch die Matrix [mm]S_1[/mm] als Spaltenoperation von rechts:
[mm]\underbrace{\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
1/2 & 1 & 0 \\
-1/2 & 0 & 1 }}_{S_1^T}\underbrace{\pmat{ 2 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2 }}_{A_1=:A}\underbrace{\pmat{ 1 & 1/2 & -1/2 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 }}_{S_1}=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\
0 & 3/2 & 3/2 \\
0 & 3/2 & 3/2 }=:A_2[/mm]
Nun muss die dritte Zeile durch Addition der minus zweiten Zeile eliminiert werden:
Als Zeilenoperation
[mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1 }=:S_2^T[/mm]
Jetzt wendest du diese Matrix [mm]S_2^T[/mm] von Links als Zeilenoperation auf [mm]A_2[/mm] an. Und gleich noch die Matrix [mm]S_2[/mm] als Spaltenoperation von rechts:
[mm]\underbrace{\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1 }}_{S_2^T}\underbrace{\pmat{ 2 & 0 & 0 \\
0 & 3/2 & 3/2 \\
0 & 3/2 & 3/2 }}_{A_2}\underbrace{\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 }}_{S_2}=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\
0 & 3/2 & 0 \\
0 & 0 & 0 }=:A_3[/mm]
Jetzt noch normieren:
[mm]S_3=S_3^T=\pmat{ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{3/2}} & 0 \\
0 & 0 & 0 }[/mm]
Damit ergibt sich
[mm]S_3^T\cdot A_3 \cdot S_3=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 }[/mm]
[mm] $S:=S_1S_2S_3$ [/mm] und [mm] $S^T$ [/mm] kennst du damit auch. Zusammenfassend:
[mm] $S_3^TS_2^TS_1^TAS_1S_2S_3=S^TAS=D$
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:08 Mo 02.05.2011 | | Autor: | JenniferS |
Dankeschön. =)
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