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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Diagonilisierbar
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Diagonilisierbar: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 02:41 Mi 13.07.2005
Autor: NECO

Hallo lieber mathematiker/in

Kann jemand mir bitte helfen diese Aufgabe zu lösen danke.
gegeben sie die von einem parameter  p [mm] \in \IR [/mm] Abhängige Matrix
A(p):= [mm] \pmat{ 2 & -6p & p \\ 0 & -1 & 0 \\ -0,5 & p & 3} [/mm]

Bitte sei mir nicht böse, weil ich hier zuviele Aufgaben stelle. Diese Aufgabe ist sehr wichtig für mich.

a)Bestimmen Sie alle Parameter [mm] p\in \IR [/mm] für die Matrix A(p) diagonalisierbar ist.
b)Bestimmen Sie alle Parameter [mm] p\in \IR [/mm] für die Matrix A(p) einen mehrfachen Eigenwert hat
c) für die in Teil b) berechneten Parameter die Eigenräume von A(p) und die Jordansche Normalform dieser A(p).

Ich habe char.Polynom gerechnet. und hier stehengeblieben.
[mm] X^{3}-4X^{2}+X+0,5pX+0,5p+6 [/mm]
Vielen dank für die Hilfen.

        
Bezug
Diagonilisierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:36 Mi 13.07.2005
Autor: angela.h.b.

Hallo,

das charakteristische Polynom hast Du ja schon.
Als nächstes bräuchtest Du die Eigenwerte.

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.
Na, die erste Nullstelle kann man erraten, und die anderen - falls es welche gibt - anschließend ausrechnen.

Danach kann man dann weitersehen...

Gruß v. Angela

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Diagonilisierbar: Warum immer raten?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:54 Mi 13.07.2005
Autor: Paulus

Hallo miteinander

meiner Meinung nach ist es eine weitverbreitete Unsitte, das Charakteristische Polynom immer gleich auszumultiplizieren. Nachher wird es oftmals schwierig, die Nullstellen zu bestimmen.

In vorliegendem Fall zum Beispiel kann man doch die Determinante einfach berechnen, indem man nach der 2. Zeile entwickelt.

Dann hat man ganz eifach diese Gleichung aufzulösen:

[mm] $(-1-x)*\left((2-x)(3-x)+\bruch{p}{2}\right)=0$ [/mm]

... und da braucht man nichts mehr zu erraten. :-)

Mit vielen Grüssen

Paul

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Diagonilisierbar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:02 Mi 13.07.2005
Autor: Hexe

Hallo Paul,
sehr coole idee funktioniert aber leider nur, wenn du eine Zeile/Spalte mit nur Nullen neben der Diagonale hast. Ansonsten bleibt einem halt nur ausmultiplizieren und raten
Lieb Grüße
Hexe

Bezug
                                
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Diagonilisierbar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:02 Mi 13.07.2005
Autor: Paulus

Hallo Katrin

aber eben hier funktioniert es doch!

Die Leute tendieren aber leider oft dazu, zunächst einmal generell auszumultiplizieren (vielleicht wollen sie ja beweisen, dass sie das beherrschen ;-)). Ich meine aber: zuerst eine Strategie zurechtlegen, und erst dann rechnen! So kann man doch oftmals vielen Schwierigkeiten aus dem Wege gehen. :-)

Viele Grüssen

Paul

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