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| Aufgabe | geg: Stab: Länge 1, dieser soll an zuf. Stelle gebrochen werden, das linke Bruchstück soll nochmals zufällig gebrochen werden. Die Zufallsvariable X gebe die Länge des linken Bruchstücks nach bd. Brüchen an.
ges: Dichte und Erwartungswert von X |
Also ich hab mir erstmal gedacht, dass ich den Stab als Intervall [0,1] betrachten kann. Da der erste Bruch ja zufällig ist, ist die Stelle des Bruches Gleichverteilt auf diesem Intervall, also:
[mm] F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\le0 \\ x, & \mbox{für } x \in ]0,1[ \\ 1, & \mbox{für } x\ge 1 \end{cases}. [/mm]
Nun würde ich mit [mm] y\in[0,1] [/mm] die Stelle des ersten Bruches bezeichnen. Also würde dann der 2. Bruch in dem Intervall [0,y] stattfinden. Dies geschieht wieder gleichverteilt mit:
[mm] G(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\le0 \\ \frac{x}{y}, & \mbox{für } x \in ]0,y[ \\ 1, & \mbox{für } x\ge y \end{cases}
[/mm]
Nun ist meine Frage, ob ich das erstmal so annehmen kann, und wie ich nun weitermachen muss??
mfg piccolo
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> geg: Stab: Länge 1, dieser soll an zuf. Stelle gebrochen
> werden, das linke Bruchstück soll nochmals zufällig
> gebrochen werden. Die Zufallsvariable X gebe die Länge des
> linken Bruchstücks nach bd. Brüchen an.
>
> ges: Dichte und Erwartungswert von X
> Also ich hab mir erstmal gedacht, dass ich den Stab als
> Intervall [0,1] betrachten kann. Da der erste Bruch ja
> zufällig ist, ist die Stelle des Bruches gleichverteilt
> auf diesem Intervall,
(Bemerkung: "Zufällig" müsste nicht unbedingt
"gleichverteilt" heißen. Es wäre besser, wenn die
Gleichverteilung wirklich in der Aufgabenstellung
erwähnt würde.)
> also:
> [mm]F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\le0 \\ x, & \mbox{für } x \in ]0,1[ \\ 1, & \mbox{für } x\ge 1 \end{cases}[/mm]
> Nun würde ich mit [mm]y\in[0,1][/mm] die Stelle des ersten Bruches
> bezeichnen.
Dann könntest du dies ja auch gleich von Anfang an
tun, also:
[mm]F(y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } y\le0 \\ y, & \mbox{für } y \in ]0,1[ \\ 1, & \mbox{für } y\ge 1 \end{cases}[/mm]
Also würde dann der 2. Bruch in dem Intervall
> [0,y] stattfinden. Dies geschieht wieder gleichverteilt
> mit:
> [mm]G(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\le0 \\ \frac{x}{y}, & \mbox{für } x \in ]0,y[ \\ 1, & \mbox{für } x\ge y \end{cases}[/mm]
Hallo piccolo,
du beschreibst hier eine Verteilungsfunktion für die Lage
des ersten Bruches (Funktion F) und dann eine "bedingte"
Verteilungsfunktion für die Lage x des zweiten Bruchs unter
der Annahme, dass der erste Bruch an der Stelle y liegt.
Es wäre wohl sinnvoll, gleich zu einer Dichtefunktion der
zwei Variablen x und y überzugehen. Definitionsbereich
dieser Funktion - nennen wir sie d(x,y), wäre ganz [mm] \IR^2, [/mm]
positive Werte nimmt sie jedoch nur im Dreieck D mit
den Eckpunkten O(0/0), P(1/1), Q(0/1) an. An einer Stelle
(x/y) in diesem Dreieck müsste [mm] d(x,y)=\frac{1}{y} [/mm] sein.
Von dieser 2D-Dichtefunktion ausgehend sollte es nicht
schwer fallen, die "1D-Dichte" sowie den Erwartungswert
von X durch Integration zu berechnen.
LG Al-Chw.
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