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| Aufgabe | Sei $X [mm] \sim N(\mu [/mm] , [mm] \sigma^2)$ [/mm]
bestimme die Dichte von [mm] X^2. [/mm] |
Hallo,
Kann ich das etwa über die Verteilungsfunktion angehen ?
Also [mm] $\mathbb{P}(X \le [/mm] x) = [mm] \mathbb{P}(-\sqrt{x} \le X^2 \le \sqrt{x})$ [/mm]
und dann einsetzen und ableiten ?
Oder gibt es da womöglich einen anderen Weg, da die Verteilungsfunktion der NV doch unhandlich ist ?
Viele Grüße und Danke
Peter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:11 Mo 22.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]X \sim N(\mu , \sigma^2)[/mm]
> bestimme die Dichte von [mm]X^2.[/mm]
> Hallo,
>
> Kann ich das etwa über die Verteilungsfunktion angehen ?
>
> Also [mm]\mathbb{P}(X \le x) = \mathbb{P}(-\sqrt{x} \le X^2 \le \sqrt{x})[/mm]
Das stimmt doch nicht !
Für x [mm] \le [/mm] 0 ist [mm] P(X^2 \le [/mm] x)=0
Für x>0 ist [mm] P(X^2 \le x)=P(-\wurzel{x} \le [/mm] X [mm] \le \wurzel{x})
[/mm]
FRED
>
> und dann einsetzen und ableiten ?
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> Oder gibt es da womöglich einen anderen Weg, da die
> Verteilungsfunktion der NV doch unhandlich ist ?
>
> Viele Grüße und Danke
>
> Peter
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Ja, du hast recht - den Fall $x [mm] \le [/mm] 0$ habe ich vergessen.
Danke dafür.
Der Rest meiner obigen Frage bleibt dennoch offen.
Viele Grüße
Peter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 Mo 22.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ja, du hast recht - den Fall [mm]x \le 0[/mm] habe ich vergessen.
Nicht nur das ! Du hast geschrieben:
" $ [mm] \mathbb{P}(X \le [/mm] x) = [mm] \mathbb{P}(-\sqrt{x} \le X^2 \le \sqrt{x}) [/mm] $"
Das ist völlig falsch.
FRED
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> Danke dafür.
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> Der Rest meiner obigen Frage bleibt dennoch offen.
>
>
> Viele Grüße
>
> Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Mo 22.02.2016 | | Autor: | Peter_123 |
Oh ja, Verzeihung ... ich schreiben vom Tablet aus - da hat sich ein Tippfehler eingeschlichen!
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Mo 22.02.2016 | | Autor: | luis52 |
> Der Rest meiner obigen Frage bleibt dennoch offen.
Moin, wie berechnet man denn [mm] $P(-\wurzel{x} \le [/mm] X [mm] \le \wurzel{x}) [/mm] $ fuer ein normalverteiltes $X$?
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Hallo,
Mittels
F(x) = [mm] \int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}e^{-1/2((t-\mu)/2)^2}dt [/mm] , ginge es , oder ?
aber ich würde gerne die Dichte von [mm] $X^2$ [/mm] bestimmen .... kann ich da ableiten ? vor allem nach was müsste ich ableiten ?
Bitte um Hilfe.
Lg Peter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Sa 12.03.2016 | | Autor: | luis52 |
> Hallo,
>
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> Mittels
>
> F(x) = [mm]\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}e^{-1/2((t-\mu)/2)^2}dt[/mm] ,
> ginge es , oder ?
Nein.
$F(x) [mm] =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}e^{-1/2((t-\mu)/\sigma)^2}\,dt$
[/mm]
>
> aber ich würde gerne die Dichte von [mm]X^2[/mm] bestimmen ....
> kann ich da ableiten ?
Ja.
> vor allem nach was müsste ich
> ableiten ?
Nach $x_$.
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Danke für deine Antwort.
also:
[mm] $(\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{t- \mu}{2})^2} dt)^{'} [/mm] = [mm] e^{-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{x}- \mu}{2})^2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} [/mm] + [mm] \frac{1}{2 \sqrt{x}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{-\sqrt{x} - \mu}{2})^2}$
[/mm]
Stimmt das ?
Abgeleitet mittels der Regel :
[mm] $\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt [/mm] = f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x)$
aber die Form ist ja kaum übersichtlich ... kriegt man das noch etwas netter hin ?
Viele Grüße
Peter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Sa 12.03.2016 | | Autor: | luis52 |
Ich weiss nicht, worauf ich jetzt antworte. Jedenfalls
[mm] $F(x)=\Phi\left(\dfrac{\sqrt{x}-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\dfrac{-\sqrt{x}-\mu}{\sigma}\right)=2\Phi\left(\dfrac{\sqrt{x}-\mu}{\sigma}\right)-1$
[/mm]
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Danke dafür.
also :
$ F(x)=\Phi\left(\dfrac{\sqrt{x}-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\dfrac{-\sqrt{x}-\mu}{\sigma}\right)=2\Phi\left(\dfrac{\sqrt{x}-\mu}{\sigma}\right)-1 $
somit
$F'(x) = 2 \frac{d}{dx} \int_{- \infty}^{\frac{\sqrt{x}- \mu}{\sigma}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\frac{-t^2}{2}}dt = \frac{2}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{x}- \mu}{\sigma})^2} \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \frac{1}{\sqrt{x}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{x}- \mu}{\sigma})^2$
Das wäre dann die Dichte von $X^2$ , mit $X \sim N(\mu , \sigma^2)$
passt das ?
Lg und danke für die Mühe
Peter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 So 13.03.2016 | | Autor: | luis52 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> passt das ?
>
>
Fast richtig, es fehlt m.E. nur eine Kleinigkeit:
$ F'(x)=(2\Phi\left(\dfrac{\sqrt{x}-\mu}{\sigma}\right)-1)'=2\varphi\left(\dfrac{\sqrt{x}-\mu}{\sigma}\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}\red{\sigma}}= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} \frac{1}{\sqrt{x}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{x}- \mu}{\sigma})^2 $
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Ja, da hast du recht.
Und nun möchte ich die Dichte von [mm] $X^2 [/mm] + [mm] Y^2$ [/mm] berechnen, wobei $X [mm] \sim N(\mu_1 [/mm] , [mm] \sigma_1^{2})$ [/mm] und $Y [mm] \sim N(\mu_2 [/mm] , [mm] \sigma_2^{2})$
[/mm]
die Dichte vom Quadrat einer normalverteilten ZV haben wir ja vorher bereits bestimmt.
also :
[mm] $f_{X^2 + Y^2}(x) [/mm] = [mm] \int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{1}} \frac{1}{\sqrt{t}} e^{-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{t}-\mu_1}{\sigma_1})^2}\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{2}} \frac{1}{\sqrt{x-t}} e^{-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{x-t}-\mu_2}{\sigma_2})^2}dt [/mm] $
oder?
Nun schaffe ich es einfach nicht dieses Integral auszurechnen - ich habs mal ein wenig umgeformt zu
[mm] $\frac{1}{2 \pi \sigma_{1} \sigma_{2}} \int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{t(x-t)}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{t}-\mu_1}{\sigma_1})^2} e^{-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{x-t}-\mu_2}{\sigma_2})^2}dt [/mm] $
Ich könnte nun ausquadrieren und ein paar (nicht von t abh.) Terme vor das Integral ziehen ... vereinfacht das aber auch nicht drastisch -- habt ihr einen Tipp oder eine Idee wie man hier subst. könnte etc ? :)
Viele Grüße und Dank
Peter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 So 20.03.2016 | | Autor: | luis52 |
Moin, ab jetzt wird's haarig. Sind $X$ und $Y$ unabhaengig und ist [mm] $\sigma_1^2=\sigma_2^2=1$, [/mm] so ist [mm] $X^2+Y^2$ [/mm] nichtzentral Chi-Quadrat-verteilt. Vielleicht ist das ja ein Startpunkt fuer eine Internetrecherche.
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Hallo Luis,
ja, ich weiß .
X und Y sollen ua , aber normalverteilt sein (und nicht Varianz = 1 , und / oder Mittelwert = 0 haben).
Das was rauskommen soll ist wirklich eine 'generalized Chi-Square' Verteilung, also der allgemeinste Fall.
Daher wäre es gut das Integral auszurechnen bzw. eine Idee für eine Summe der Form [mm] X_{1}^2 [/mm] + ,...., [mm] X_{n}^2 [/mm] zu bekommen.
Lg Peter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 So 20.03.2016 | | Autor: | luis52 |
Probier's mal hier:
@book{johnson2002continuous,
title={Continuous Multivariate Distributions, Volume 1+2, Models and Applications},
author={Johnson, Norman L and Kotz, Samuel and Balakrishnan, N},
year={2002},
publisher={New York: John Wiley [mm] \& [/mm] Sons}
}
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Hallo ,
Ich möchte diese Frage gerne nochmals aufgreifen , ob jemand eine Lösung für
$ [mm] \frac{1}{2 \pi \sigma_{1} \sigma_{2}} \int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{t(x-t)}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{t}-\mu_1}{\sigma_1})^2} e^{-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{x-t}-\mu_2}{\sigma_2})^2}dt [/mm] $
Dieses Integral wüsste ?
Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Fr 20.05.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 22.03.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> > Hallo,
> >
> >
> > Mittels
> >
> > F(x) = [mm]\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}e^{-1/2((t-\mu)/2)^2}dt[/mm] ,
> > ginge es , oder ?
>
> Nein.
Hmmm, könntest du mir bitte sagen wie dann ? :)
Lg
>
> [mm]F(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}e^{-1/2((t-\mu)/\sigma)^2}\,dt[/mm]
>
> >
> > aber ich würde gerne die Dichte von [mm]X^2[/mm] bestimmen ....
> > kann ich da ableiten ?
>
> Ja.
>
> > vor allem nach was müsste ich
> > ableiten ?
>
> Nach [mm]x_[/mm].
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 Sa 12.03.2016 | | Autor: | Peter_123 |
Verzeihung , steht a) eine Zeile drunter und b) hab ich einfach [mm] $\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} [/mm] vergessen -> damit ist obige frage geklärt.
lg
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