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Forum "Uni-Stochastik" - Dichte mit Konstante
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Dichte mit Konstante: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:06 So 05.09.2010
Autor: natascha

Aufgabe
Die Zufallsvariable X hat die Dichte
[mm] f(n)=\begin{cases} c/x, & \mbox{ für 1<=x<=e} \\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases} [/mm]
Bestimmen Sie die Konstante c, E(X), Var(X) und finden Sie anschliessend auch E((X+1)²-3).

Hallo,

Eigentlich habe ich die Konstante c bereits berechnet, jedoch erscheint mir das Resultat etwas merkwürdig. Ich habe
[mm] \integral_{1}^{e}{c/x dx} [/mm] berechnet und erhalte so c(ln e - ln 1), was ja dazu führt, dass c=0. Dadurch wird ja auch der Erwartungswert 0. Kann das sein oder mache ich da etwas falsch?

Vielen Dank!

Liebe Grüsse,

Natascha

        
Bezug
Dichte mit Konstante: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 So 05.09.2010
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich habe [mm]\integral_{1}^{e}{c/x dx}[/mm] berechnet und erhalte so c(ln e - ln 1),

[ok]

> was ja dazu führt, dass c=0.

Wieso?
Was muss denn c(ln e - ln 1) sein? Umstellen nach c liefert dir NICHT c=0.

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Dichte mit Konstante: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 So 05.09.2010
Autor: natascha

Hmm, ich glaube ich verstehe da irgendetwas noch nicht so ganz:
> > was ja dazu führt, dass c=0.
>  
> Wieso?
>  Was muss denn c(ln e - ln 1) sein? Umstellen nach c
> liefert dir NICHT c=0.

Ich habe das so überlegt: c (ln e - ln 1) ergibt doch c*lne + c*ln1, und da lne=1 und ln1=0 sind, erhalte ich doch c=0, oder nicht?

Danke für die Hilfe!

Gruss,

Natascha


Bezug
                        
Bezug
Dichte mit Konstante: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 So 05.09.2010
Autor: Arcesius

Hallo


> Hmm, ich glaube ich verstehe da irgendetwas noch nicht so
> ganz:
>  > > was ja dazu führt, dass c=0.

>  >  
> > Wieso?
>  >  Was muss denn c(ln e - ln 1) sein? Umstellen nach c
> > liefert dir NICHT c=0.
>  Ich habe das so überlegt: c (ln e - ln 1) ergibt doch
> c*lne + c*ln1, und da lne=1 und ln1=0 sind, erhalte ich
> doch c=0, oder nicht?

Warum denn?

Eine Funktion ist nur dann eine Dichtefunktion, wenn sie über den ganzen Raum hinweg integriert etwas bestimmtes ergibt, sagen wir [mm]s[/mm].. was ist [mm]s[/mm]?

Nun, wann ist [mm]c(ln(e)-ln(1)) = s[/mm] ?

>  
> Danke für die Hilfe!
>  
> Gruss,
>  
> Natascha

>
  
Grüsse, Amaro

Bezug
                                
Bezug
Dichte mit Konstante: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:01 So 05.09.2010
Autor: natascha


>
> Nun, wann ist [mm]c(ln(e)-ln(1)) = s[/mm] ?
>  

Achso, nun dann müsste c=s/(ln(e)-ln(1)) sein, also c=s. Jedoch kenne ich s ja gar nicht direkt? Werden die anschliessenden Berechnungen also alle von s abhängen?

Vielen Dank!

Grüsse,
Natascha

Bezug
                                        
Bezug
Dichte mit Konstante: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 So 05.09.2010
Autor: Arcesius

Hallo


>
> >
> > Nun, wann ist [mm]c(ln(e)-ln(1)) = s[/mm] ?
>  >  
> Achso, nun dann müsste c=s/(ln(e)-ln(1)) sein, also c=s.
> Jedoch kenne ich s ja gar nicht direkt? Werden die
> anschliessenden Berechnungen also alle von s abhängen?
>

Ok, eine Funktion [mm]f[/mm] ist nur dann eine Dichtefunktion, wenn [mm]\int\limits_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx} = 1[/mm]

Das bedeutet, dass [mm]c(ln(e)-ln(1)) = 1[/mm] erfüllt sein muss.. somit ist [mm]c = 1[/mm].

Kennst du denn diese Bedingung an die Dichtefunktionen nicht? Dann müsstest du das schnell in deinen Unterlagen suchen ;)

> Vielen Dank!
>  
> Grüsse,
>  Natascha

Grüsse, Amaro

Bezug
                                                
Bezug
Dichte mit Konstante: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:08 So 05.09.2010
Autor: natascha

Au ja, stimmt, so ein Mist, da war sowas :-)
Vielen Dank für die Hilfe!!

Liebe Grüsse,

Natascha

Bezug
        
Bezug
Dichte mit Konstante: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:47 So 05.09.2010
Autor: natascha

Aufgabe
Die Zufallsvariable X hat die Dichte
[mm] f(n)=\begin{cases} cx^{-4}, & \mbox{ x>=1} \\ 0, & \ \mbox{ sonst} \end{cases} [/mm]
Bestimmen Sie die Konstante c, E(X), Var(X) und E((X-1)²+5).

Hallo,

Ich habe hier noch so eine Aufgabe. Diesmal gibt es ja nur einen Grenzwert (X>=1), ist die obere Grenze des Intervalls +unendlich? Falls ja, wie muss ich das dann ausrechnen, also ich habe ja dann:
[mm] \integral_{1}^{\infty}{cx^{-4} dx} [/mm] = c [mm] [-1/3x^{-3}] [/mm] zwischen 1 und [mm] \infty. [/mm] Ich kann ja irgendwie nicht unendlich einsetzen...
Vielen Dank im Voraus!

Liebe Grüsse,

Natascha

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Bezug
Dichte mit Konstante: Einsetzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 So 05.09.2010
Autor: Infinit

Hallo Natascha,
Du kannst schon unendlich einsetzen, achte auf das Minuszeichen im Exponenten, da bleibt nichts mehr übrig, um es mal so leger zu sagen.
VG,
Infinit


Bezug
                        
Bezug
Dichte mit Konstante: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 So 05.09.2010
Autor: natascha

Achso, jetzt seh ich es, danke dir vielmals! Weil es ja dann Zahl/Unendlich ist und das strebt gegen 0.
Ich habe jetzt E(X), Var(X) und E((X-1)²+5) ausgerechnet:
E(X)=3*1/4=3/4
Var(X)=E(X²)-(E(X))² = -3 - 9/16 = -57/16
E((X-1)²+5) = E(X²)-2E(X)+6 = 3/2

Könnte das so stimmen?

Vielen Dank im Voraus!

Liebe Grüsse,

Natascha

Bezug
                                
Bezug
Dichte mit Konstante: Erwartungswert
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:39 So 05.09.2010
Autor: Infinit

Hallo Natascha,
für den Erwartungswert bekomme ich gerade das Doppelte Deines Ergebnisses raus:
[mm] \int \bruch{3x}{x^4} \, dx = 3 \int\bruch{1}{x^3}\, dx = - 3 \bruch{1}{2x^2} [/mm]
Mit den bekannten Grenzen entsteht dann der Wert 3/2.
Rechne doch bitte noch mal nach.
Viele Grüße,
Infinit


Bezug
                                        
Bezug
Dichte mit Konstante: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:49 So 05.09.2010
Autor: natascha

Au ja, ich seh's, da habe ich mich wohl verrechnet. Jetzt erhalte ich auch E(X)=3/2.
Ausserdem erhalte ich dann weiter
Var(X)=-21/4 und E((X-1)²+5) = 0.
Stimmt das nun?

Viele Grüsse,

Natascha

Bezug
                                                
Bezug
Dichte mit Konstante: quadratischer Erwartungsert
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:00 So 05.09.2010
Autor: Infinit

Sorry,
aber jetzt stimmt als nächstes die Berechnung des quadratischen Mittelwertes nicht, den Du für die Varianz heranziehst.
Parallel zu oben haben wir doch
[mm] 3 \int \bruch{x^2}{x^4} \, dx = 3 \int \bruch{1}{x^2} \, dx = -3 \bruch{1}{x} [/mm] was mit den bekannten Grenzen zu einer 3 führt.
Viele Grüße,
Infinit  


Bezug
                                                        
Bezug
Dichte mit Konstante: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:33 So 05.09.2010
Autor: natascha

ohjeee ja jetzt seh ichs. Jetzt sollte es stimmen, ich hab es noch ein paar Mal nachgerechnet.
Vielen Dank für deine Geduld!

Liebe Grüsse,

Natascha

Bezug
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