Dichte von Zufallsgrössen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Sa 01.10.2005 | | Autor: | lena222 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo! Ich krieg heut garnix mehr hin und ich denke ma ich hab einfach nur ein Hänger! Ich würde mich über Hilfe bei folgender Aufgabe freuen...
Es seien X und Y unabhängige gleichverteilte ZV auf [0,a]
Aufgabe: Bestimme die Dichte von X+Y!
also was ich weiss ist Dichte: [mm] f(n)=\begin{cases} 1/(b-a), & \mbox{für } n \in [0,a] \mbox{} \\ 0, & \mbox{ } \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
und Verteilungsfunktion [mm] F(n)=\begin{cases} \bruch{n}{a}, & \mbox{für } n \le a \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } n>a \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Das gilt ja für [mm] \IF_{Y}(y) [/mm] wie für [mm] \IF_{X}(x)
[/mm]
aber Vfunktionen einfach addieren und dann integrieren macht ja nich viel Sinn!
Zudem gillt ja für [mm] \IF_{X}(x)=P[X \le [/mm] x] deswegen müsste für Z=X+Y also für [mm] \IF_{Z}(z)=P[X+Y \le [/mm] z] gelten aber wie komm ich dann wieder auf die Verteilungsfunktion von Z um dann die Dichte zu kriegen? Vielleicht hab ich heut schon zuviel mathe gemacht :(
Also würde mich über Beantwortung sicherlich sehr freuen!
MfG Lena
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Hallo lena222,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo! Ich krieg heut garnix mehr hin und ich denke ma ich
> hab einfach nur ein Hänger! Ich würde mich über Hilfe bei
> folgender Aufgabe freuen...
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> Es seien X und Y unabhängige gleichverteilte ZV auf [0,a]
> Aufgabe: Bestimme die Dichte von X+Y!
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> also was ich weiss ist Dichte: [mm]f(n)=\begin{cases} 1/(b-a), & \mbox{für } n \in [0,a] \mbox{} \\ 0, & \mbox{ } \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
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> und Verteilungsfunktion [mm]F(n)=\begin{cases} \bruch{n}{a}, & \mbox{für } n \le a \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } n>a \mbox{ } \end{cases}[/mm]
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> Das gilt ja für [mm]\IF_{Y}(y)[/mm] wie für [mm]\IF_{X}(x)[/mm]
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> aber Vfunktionen einfach addieren und dann integrieren
> macht ja nich viel Sinn!
> Zudem gillt ja für [mm]\IF_{X}(x)=P[X \le[/mm] x] deswegen müsste
> für Z=X+Y also für [mm]\IF_{Z}(z)=P[X+Y \le[/mm] z] gelten aber wie
> komm ich dann wieder auf die Verteilungsfunktion von Z um
> dann die Dichte zu kriegen? Vielleicht hab ich heut schon
> zuviel mathe gemacht :(
Zunächst gilt:
[mm]h\left( {x,\;y} \right)\; = \;f(x)\;g(y)[/mm]
,da X + Y unabhängige ZVn sind.
f(x) und g(y) besitzen dieselbe Dichtefunktion.
Dann gilt für die Dichte der Zufallsvariable Z = X + Y:
[mm]k(z)\; = \;\int\limits_{ - \infty }^\infty {h\left( {x,\;z\; - \;x} \right)\;dx\; = \;} \int\limits_{ - \infty }^\infty {f(x)\;g\left( {z\; - \;x} \right)\;dx} [/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 So 02.10.2005 | | Autor: | lena222 |
Hrm das hatte ich mir gleich am anfang auch so gedacht!
Scheint so zu stimmen, aber es kommt nichts ordentliches raus :-(
Kann man es explizit ausrechnen?
Bei X-Y klappts ja leider auch nicht! Ich bin noch viel verwirrter als ich vorher schon war!
Mfg Lena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 So 02.10.2005 | | Autor: | Infinit |
Hallo Lena222,
der Hinweis von Mathepower, dass für die neue Zufallsvariable Z = X + Y eine Dichteverteilung herauskommt, die durch das von ihm angegebene Integral berechenbar ist, man nennt es ein Faltungsintegral, stimmt. Für die Funktionen f(x) und g(-x) habe ich im folgenden Bild die Dichteverteilung, die ja bei Deiner Aufgabe konstant ist, hingemalt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Um die neue Dichte in Abhängigkeit von z auszurechnen, musst Du nur die zweite Kurve nach rechts unter der ersten Kurve hindurchschieben und dabei berechnen wie groß die gemeinsame Fläche unter den beiden Kurven ist. Das Integral ist in diesem Fall sehr einfach zu berechnen, da es sich um die Multiplikation von Konstanten handelt. Was erkennt man dabei? Nun, für z = 0 gibt es noch keine gemeinsamen Flächen, das Integral hat den Wert 0. Das ist der Fall, den ich für g(-x) aufgemalt habe, denn g(-x) ist ja nichts weiter als g(z-x) für z = 0. Mit wachsendem z wächst die gemeinsame Fläche, bis bei z = a die Kurve von g(z-x) voll unter der Kurve f(x) liegt. Hier erreicht das Integral einen Maximalwert. Schiebt man nun g(z-x) weiter nach rechts, nimmt die gemeinsame Fläche wieder ab, bis bei z = 2a die Kurven keine gemeinsame Fläche mehr besitzen. Damit sind die Grenzen der neuen Dichtefunktion klar, es existieren nur von Null verschiedene Werte zwischen 0 und 2a. Da die Integration einer Konstanten eine linear mit x wachsende Größe ist, ergibt sich eine Dreiecksverteilung mit ihrem Maximum an der Stelle z = a.
Hoffe, die bildliche Darstellungweise hat Dir weitergeholfen.
Viele Grüße,
Infinit
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 So 02.10.2005 | | Autor: | lena222 |
Nur versteh ich den Rechenweg überhaupt nicht :(
aber rauskommen müsste also als Dichte von Z=X+Y
also [mm] f(z)=\begin{cases} \bruch{z}{a²} , & \mbox{für } 0 \le z \le a \mbox{ } \\ \bruch{2}{a} - \bruch{z}{a²}, & \mbox{für } a \le z \le 2a \mbox{ } \end{cases} [/mm]
f(x) hab ich ja schonmal aufgeschrieben und f(z-x) sieht wie aus? Wie ändert sich das intervall und wie integriere ich dann [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x) * f(z-x) dx} ? Integrationsgrenzen a und b?? Charakteristische Funktion? Fallunterscheidung? Ich komm da überhaupt nicht hin!
MfG Lena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:03 Mo 03.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Lena!
Wir haben (in MathePowers Notation):
$k(z) = [mm] \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{a} \cdot 1_{[0,a]}(x) \cdot \frac{1}{a} \cdot 1_{[0,a]}(z-x)\, [/mm] dx$
$= [mm] \frac{1}{a^2} \int\limits_0^a 1_{[0,a]}(z-x)\, [/mm] dx$
$ = [mm] \frac{1}{a^2} \int\limits_0^a 1_{[z-a,z]}(x)\, [/mm] dx$
(denn [mm] $\blue{0 \le z-x \le a \quad \Leftrightarrow \quad z-a \le x \le z}$)
[/mm]
$= [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & , & z<0 ,\\[5pt] \frac{1}{a^2} \int\limits_0^z 1 \, dx = \frac{z}{a^2} & , & 0 \le z \le a, \\[5pt] \frac{1}{a^2} \int\limits_{z-a}^a 1\, dx = \frac{1}{a^2} \cdot (a-(z-a)) = \frac{2}{a} - \frac{z}{a^2} & , & a \le z \le 2a,\\[5pt] 0 & , & z>2a \end{array} \right.$
[/mm]
Das war's schon. Also wirklich nur (langweiliges) Rumrechnen...
Liebe Grüße
Stefan
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