Dichte von Zufallsvariablen < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:57 So 07.11.2010 | | Autor: | Jewgenij |
| Aufgabe | [mm] Seien X_{1}, X_{2} [/mm] unabhängig identisch verteilt mit dichte [mm] f_{x1,2} = \lambda* exp(-\lambda* x) [/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] Y= X_{1}-X_{2} [/mm] die Dichte
[mm] f_{Y} = \bruch{1}{2} * \lambda * exp(-\lambda * \left |y \right|) [/mm] hat. |
Hi Leute, kann mir vllt jemand einen Tipp für diese AUfgabe geben?
Kann man das über die Faltung ausrechnen?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:18 So 07.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
setzte [mm]Y=g_1(X_1,X_2)=X_1-X_2[/mm] und [mm]Z=g_2(X_2)=X_2[/mm] führe eine multivariate Variablentransformation durch und berchne die Randdichte von [mm]Y[/mm].
[mm]X_2=g_2^{-1}(Z)=Z[/mm] und
[mm]X_1=g_2^{-1}(Y,Z)=Y+Z[/mm]
die Jacobi det ist dann
[mm]\big| \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } \big| = 1-0=1[/mm]
dann ist
[mm]f_{Y,Z}(y,z)=\lambda e^{-\lambda (y+z)}\lambda e^{-\lambda (z)}=
\lambda^2e^{-\lambda y - 2\lambda z}[/mm]
und jetzt die Randdichte von [mm]Y[/mm]
[mm]f_Y (y)=\int_0^{\infty}f_{Y,Z}(y,z) dz=\int_0^{\infty}\lambda^2e^{-\lambda y - 2\lambda z}dz=[-\frac{1}{2}\lambda e^{-\lambda y - 2\lambda z}]_0^{\infty}=\frac{1}{2}\lambda e^{-\lambda y }[/mm]
[mm][/mm]
dass passt so leider noch nicht ganz! Denn der Betrag um [mm]y[/mm] fehlt noch! Ich sehs grad leider nicht! Denk später nochmal drüber nach! Vielleicht siehst du es ja. Vielleicht gibts auch noch ne einfachere möglichkeit!
viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Mo 08.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
obige Methode geht nicht! Dies liegt daran, dass die Abbildung nur eindeutig umkehrbar ist wenn [mm] X_1 [/mm] > [mm] X_2 [/mm] ist also Y positiv nicht aber für den anderen Fall!
Dann doch lieber über die Faltung für Differenzen!
[mm]\int f(\tau)g(\tau - t)d\tau[/mm]
für [mm]t>0[/mm]
[mm]\int_t^{\infty} \lambda e^{-\lambda \tau}\lambda e^{-\lambda (\tau -t)}d\tau=[/mm]
[mm]\lambda^2\int_t^{\infty} e^{-2\lambda \tau + \lambda t}d\tau=[/mm]
[mm]\frac{\lambda}{2}e^{-\lambda t}1_{[t>0]}(t)[/mm]
jetzt noch für [mm]t\leq 0[/mm]
[mm]\int_{-t}^{\infty} \lambda e^{-\lambda \tau}\lambda e^{-\lambda (\tau +t)}d\tau=[/mm]
[mm]\lambda^2\int_{-t}^{\infty} e^{-2\lambda \tau - \lambda t}d\tau=[/mm]
[mm]\frac{\lambda}{2}e^{-\lambda (-t)}1_{[t\leq 0]}(t)[/mm]
somit ist die Gesamtdichte
[mm]\frac{\lambda}{2}e^{-\lambda t}1_{[t>0]}(t)+\frac{\lambda}{2}e^{-\lambda (-t)}1_{[t\leq 0]}(t)=\frac{\lambda}{2}e^{-\lambda |t|}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Mo 08.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
alles sehr unschön!
Viele viel besser:
allgemein gilt:
[mm]\varphi_X(-t)=\varphi_{-X}(t)[/mm]
somit ist
[mm]\varphi_{X_1-X_2}(t)=\varphi_{X_1}(t)\varphi_{X_1}(-t)=[/mm]
[mm]\frac{1}{1-(it)/\theta}\frac{1}{1+(it)/\theta}=\frac{1}{1+(t/\theta)^2}[/mm]
und dass ist die charakteristische Funktion der doppelten Exponentialverteilung!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 Do 11.11.2010 | | Autor: | Jewgenij |
Hey vielen Dank für deine Mühe!!!!
ICh habe die Aufgabe dann ähnlich gemacht wie deine zweite Version, hatte es vorher schon mit der Faltung versucht aber ich wusste nicht dass man da eine Fallunterscheidung für das t machen muss
Danke!
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