Dichtefunktion < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Mi 03.03.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Eine Firma stellt elektronische Bauteile her. Nicht alle Bauteile funktionieren gleich lang. Die Lebenserwartung eines Bauteils sei eine Zufallsvariable T mit der Dichte
[mm] f(n)=\begin{cases} ke^{-0.5t}, & t \ge 0 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Dabei sei t die zeitvariable (mit einer einheit von 100 Tagen).
a) Berechne k, den Erwartungswert E(T) und die Varianz Var(T).
b) Man weiss, dass ein Bauteil eine Lebenserwartung von mindestens 500 Tagen hat. Wie gross ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass seine Lebenserwartung sogar mindestens 800 Tage beträgt? |
Ich weiss, dass die Dichtefunktion integriert die Verteilungsfunktion gibt; also integriere ich [mm] $\integral{ke^{-0.5t}dt}$ [/mm] = $ k (-2 [mm] e^{-0.5t}+C)$
[/mm]
Nur: ich sehe nicht wie ich weiterfahren muss...
Kann mir jemand aushelfen?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Mi 03.03.2010 | | Autor: | gfm |
> Dabei sei t die zeitvariable (mit einer einheit von 100
> Tagen).
> a) Berechne k, den Erwartungswert E(T) und die Varianz
> Var(T).
k ist der Normierungsfaktor. Er muss so sein, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Teil irgendwann ausfällt, gleich eins ist.
[mm] \integral_0^{\infty}f_k(x)dx=1 [/mm] (damit kannst Du k ausrechnen)
Deine Zufallsvariable T ist exponential verteilt:
[mm] f_{k}(x)= \begin{cases}\displaystyle k{\rm e}^{-k x} & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}
[/mm]
Damit kannst Du [mm] E(T)=\integral_0^{\infty}xf(x)dx [/mm] und [mm] VAR(T)=E(T^2)-E(T)^2 [/mm] ausrechnen:
[mm] E(T)=\integral_0^\infty kxe^{-kx} dx=[-xe^{-kx}]_0^\infty+\integral_0^\infty e^{-kx}dx=0-\frac{1}{k}[e^{-kx}]_0^\infty=\frac{1}{k}
[/mm]
[mm] Var(T)=\integral_0^\infty kx^2 e^{-kx}dx-\frac{1}{k^2}=[-x^2e^{-kx}]_0^\infty+\integral_0^\infty 2xe^{-kx}dx-\frac{1}{k^2}=0+2\frac{1}{k}\integral_0^\infty kxe^{-kx}dx-\frac{1}{k^2}=2\frac{1}{k}E(T)-\frac{1}{k^2}=\frac{1}{k^2}
[/mm]
Die Verteilungsfunktion ist
[mm] F_k(x)=\begin{cases}\integral_{0}^{x}f_{k}(t)dt=1-e^{-kx}& x\geq 0\\ \\0&x<0\end{cases}
[/mm]
> b) Man weiss, dass ein Bauteil eine Lebenserwartung von
> mindestens 500 Tagen hat. Wie gross ist dann die
> Wahrscheinlichkeit, dass seine Lebenserwartung sogar
> mindestens 800 Tage beträgt?
Ich nehme an, Ihr sollt ausrechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Teil mehr als t=8 Hektotage hält unter der Bedingung, dass es mehr als s=5 Hektotage hält.
[mm] P(\{T>t\}|T>s)=\frac{P(\{T>t\}\cap\{T>s\})}{P(\{T>s\})}=\frac{P(\{T>t\})}{P(\{T>s\})}=\frac{1-F_k(t)}{1-F_k(s)}=e^{-k(t-s)}
[/mm]
d.h., auch nicht mehr als ein frisches Teil. Die Dinger ermüden also nicht oder sie wissen nicht, wie alt sie schon sind, sie sind also gedächnislos.
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Mi 03.03.2010 | | Autor: | kushkush |
Danke. Ich stecke aber schon beim Finden des k's fest. Ich kann das also so auflösen:
$1 = k [mm] \cdot [/mm] ( [mm] -2e^{-0.5t})$ [/mm]
oder?
Wenn ich nun aber 100 einsetze dann bekomme ich ganz komische Zahlen... (-2.6 [mm] \cdot 10^{21}) [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Mi 03.03.2010 | | Autor: | gfm |
> Danke. Ich stecke aber schon beim Finden des k's fest. Ich
> kann das also so auflösen:
>
>
>
> [mm]1 = k \cdot ( -2e^{-0.5t})[/mm]
>
> oder?
Ne, $ [mm] \integral_0^{\infty}f_k(x)dx=1 [/mm] $
>
> Wenn ich nun aber 100 einsetze dann bekomme ich ganz
> komische Zahlen... (-2.6 [mm]\cdot 10^{21})[/mm]
>
100 Tage -> t=1
200 Tage -> t=2
Stand so in der aufgabe: Zeiteinheit = 100 Tage.
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Mi 03.03.2010 | | Autor: | kushkush |
Ich verstehe nicht wie ich das t einsetzen muss und wie ich auf das k kommen soll...
wenn ich $ [mm] \integral_0^{\infty}f_k(x)dx=1 [/mm] $ hiernach gehe, dann komme ich auf:
[mm] $\integral_0^{\infty}-x2e^{-0.5t}=1$ [/mm] also [mm] $-\frac{x^{2}}{2}2e^{-0.5t}=1$
[/mm]
dann erhalte ich x =1.248..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Do 04.03.2010 | | Autor: | gfm |
> Ich verstehe nicht wie ich das t einsetzen muss und wie ich
> auf das k kommen soll...
>
> wenn ich [mm]\integral_0^{\infty}f_k(x)dx=1[/mm] hiernach gehe, dann
> komme ich auf:
>
> [mm]\integral_0^{\infty}-x2e^{-0.5t}=1[/mm] also
> [mm]-\frac{x^{2}}{2}2e^{-0.5t}=1[/mm]
>
> dann erhalte ich x =1.248..
[mm] 1=\integral_0^{\infty}f_k(x)dx=\integral_0^{\infty}ke^{-0.5x}dx=[...]_0^\infty=k*(...), \Rightarrow k=\frac{1}{...}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:13 Do 04.03.2010 | | Autor: | kushkush |
hahaha ich habe vergessen dass man ja x bei t einsetzen muss!
Danke!!!
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