Dichtefunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Mi 29.06.2005 | | Autor: | Jenss |
Hallo,
ich habe ein Problem zu lösen und weiss nicht wie ich das angehen soll:
Berechne die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Variablen w=(X+Y+Z)/3. Hierbei sind X,Y und Z voneinander unabhängige Zufallsvariablen und im Interval [-1,1] "uniformly" verteilt.
Wie kann ich das Problem denn angehen?
Grüße
Jens
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Jens!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechne die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der
> Variablen w=(X+Y+Z)/3. Hierbei sind X,Y und Z voneinander
> unabhängige Zufallsvariablen und im Interval [-1,1]
> "uniformly" verteilt.
> Wie kann ich das Problem denn angehen?
Ich würde so rangehen, dass ich zunächst die Dichte von $U:=X+Y$, dann die von $V:=U+Z$ und anschließend die von $W=V/3$ bestimmen würde. Für die ersten beiden Schritte benötigst Du die sogenannte Faltungsformel (s. z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier). Dabei musst Du beachten, dass die Dichte der U([-1,1])-Verteilung nur auf dem Intervall [-1,1] positive Werte annimmt. Die Integrationsgrenzen laufen demnach auch nicht von [mm] $-\infty$ [/mm] bis [mm] $\infty$. [/mm] Der letzte Schritt ist dann recht einfach.
Viel Erfolg! Melde Dich mal mit dem Ergebnis...
Viele Grüße
Brigitte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Do 30.06.2005 | | Autor: | Marusja |
ich wollte mal gerne dazu fragen, ob die Faltungsformel dann auch für unterschiedliche Verteilungsarten gilt. Wie rechtet man wenn, X z.B Normal und Y Gleichverteilt ist.
Grüß, marusja
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Hallo!
> ich wollte mal gerne dazu fragen, ob die Faltungsformel
> dann auch für unterschiedliche Verteilungsarten gilt. Wie
> rechtet man wenn, X z.B Normal und Y Gleichverteilt ist.
Ja, klar. Ist doch nirgends vorgegeben, dass da jedes Mal die selbe Dichte steht. Einmal ist es die von $X$, einmal die von $Y$. Wichtig ist aber, dass $X$ und $Y$ unabhängig sind. Sonst muss man über die gemeinsame Dichte gehen.
Gruß
Brigitte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Fr 01.07.2005 | | Autor: | Jenss |
Hallo Brigitte,
Zuerst mal vielen Dank für Deine Hilfe. Ich habe jetzt die Dichtefunktion ausgerechnet. Leider stimmt aber das Ergebnis nicht und selbst nach 3maligem Nachrechnen komme ich noch zum gleichen Ergebnis. Es scheint also noch ein Grundsätzliches Problem zu geben. Ich gebe mal den Lösungsweg hier unten an. Wenn Du Zeit hat, kannst Du ja mal sagen was ich falsch gemacht habe.
Ich definiere also die Zufallsgröße [mm]U:=X+Y[/mm]
Die Dichtefunktion [mm]f_U(u)[/mm] berechne ich mit dem Faltungsintegral:
[mm]f_U(u)=f_{X+Y}(u)=\int_{-infty}^{+infty} f_X(u)f_Z(u-x)\, dx[/mm]
Es sind nun 2 Bereiche zu unterscheiden in der das Integral nicht null wird:
Bereich: [mm]-2 <= u < 0[/mm]
[mm]f_U(u)=f_{X+Y}(u)=\int_{-1}^{u+1} \frac{1}{4}\, dx =\frac{1}{4}u+\frac{1}{2}[/mm]
Bereich: [mm]0 <= u < 2[/mm]
[mm]f_U(u)=f_{X+Y}(u)=\int_{u-1}^{1} \frac{1}{4}\, dx =-\frac{1}{4}u+\frac{1}{2}[/mm]
Daraus folgt für [mm] f_U(u):
[/mm]
[mm]f_U(u)=\left\{ \begin{array}{1}
\frac{1}{4}u+\frac{1}{2}, \hbox{für} -2 <= u < 0\\
-\frac{1}{4}u+\frac{1}{2}, \hbox{für} 0 <= u < 2\\
0, \hbox{sonst} \end{array}
\right. [/mm]
Dann habe ich die Zufallsvariable V definiert: [mm]V:=X+Y+Z=U+Z[/mm]
Jetzt folgt die Faltung von [mm]f_U[/mm] mit [mm]f_Z[/mm] nach dem gleichen Verfahren wie oben. Habe ich [mm]f_V[/mm], teile ich [mm]f_V[/mm] noch durch 3 und schon müsste ich die gesuchte Dichtefunktion haben... aber mein Ergebnis ist falsch.
Habe ich einen grundsätzlichen Fehler gemacht?
Viele Grüße
Jens
PS sollte Dir mein Lösungsweg nicht klar sein, kann ich auch meine Handschriftliche Rechnung mit den Zeichnungen einscannen und Dir zuschicken.
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Hallo Jens!
> Ich definiere also die Zufallsgröße [mm]U:=X+Y[/mm]
>
> Die Dichtefunktion [mm]f_U(u)[/mm] berechne ich mit dem
> Faltungsintegral:
>
> [mm]f_U(u)=f_{X+Y}(u)=\int_{-infty}^{+infty} f_X(u)f_Z(u-x)\, dx[/mm]
>
> Es sind nun 2 Bereiche zu unterscheiden in der das Integral
> nicht null wird:
>
> Bereich: [mm]-2 <= u < 0[/mm]
>
> [mm]f_U(u)=f_{X+Y}(u)=\int_{-1}^{u+1} \frac{1}{4}\, dx =\frac{1}{4}u+\frac{1}{2}[/mm]
>
>
> Bereich: [mm]0 <= u < 2[/mm]
>
> [mm]f_U(u)=f_{X+Y}(u)=\int_{u-1}^{1} \frac{1}{4}\, dx =-\frac{1}{4}u+\frac{1}{2}[/mm]
>
> Daraus folgt für [mm]f_U(u):[/mm]
>
> [mm]f_U(u)=\left\{ \begin{array}{1}
\frac{1}{4}u+\frac{1}{2}, \hbox{für} -2 <= u < 0\\
-\frac{1}{4}u+\frac{1}{2}, \hbox{für} 0 <= u < 2\\
0, \hbox{sonst} \end{array}
\right.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Alles richtig!
> Dann habe ich die Zufallsvariable V definiert:
> [mm]V:=X+Y+Z=U+Z[/mm]
> Jetzt folgt die Faltung von [mm]f_U[/mm] mit [mm]f_Z[/mm] nach dem gleichen
Schreib doch bitte mal [mm] $f_V$ [/mm] auf, damit ich das Ergebnis überprüfen kann.
> Verfahren wie oben. Habe ich [mm]f_V[/mm], teile ich [mm]f_V[/mm] noch durch
> 3 und schon müsste ich die gesuchte Dichtefunktion haben...
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das stimmt nicht. Für die Verteilungsfunktion von $W$ gilt doch
[mm] $F_W(w)=P(W\le w)=P(V/3\le w)=P(V\le 3w)=\int_{-\infty}^{3w} f_V(v)\,dv$.
[/mm]
Mit der Substitution t=v/3 gelangt man zu
[mm] $F_W(w)=\int_{-\infty}^{w} 3f_V(3t)\,dt$.
[/mm]
Also lautet die Dichte von $W$:
[mm] $f_W(t)=3f_V(3t),$
[/mm]
d.h. Du musst das Argument mit 3 multiplizieren und gleichzeitig noch die Dichte mit 3 multiplizieren. Das schaut auf den ersten Blick merkwürdig aus, stimmt aber.
Liebe Grüße
Brigitte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:48 Sa 02.07.2005 | | Autor: | Jenss |
Hallo Brigitte,
Nochmals vielen Dank für Deine schnelle Antwort.
Ich bekomme für [mm]f_V[/mm] folgendes raus:
[mm]f_V(v)=\left\{\begin{array}{1}
\frac{1}{16}v^2+\frac{3}{8}v+\frac{9}{16}, \hbox{für} -3<=v<-1\\
-\frac{1}{8}v^2+\frac{3}{8}, \hbox{für} -1<=v<1\\
\frac{1}{16}v^2-\frac{3}{8}v+\frac{9}{16}, \hbox{für} 1<=v<3\\
0, \hbox{sonst}
\end{array}
\right. [/mm]
Nach [mm]f_W(w)=f_{V/3}(w)=\int_{-inf}^{w} 3f_V(3w)dw[/mm] folgt:
[mm]f_W(w)=\left\{\begin{array}{1}
\frac{27}{16}(w+1)^2, \hbox{für} -1<=v<-1/3\\
\frac{9}{8}(1-3w), \hbox{für} -1/3<=v<1/3\\
\frac{27}{16}(1-w)^2, \hbox{für} 1/3<=v<1\\
0, \hbox{sonst}
\end{array}
\right. [/mm]
Und das Ergebnis is genau das richtige :) ... Man könnte noch Zeile 1 und 3 zusammenfassen aber das is Kosmetik.
Ich versteh nur eine Sache nich bei Deiner Erklärung:
Wieso kann man einfach die 3 rübermultiplizieren???:
[mm]P(V/3<=w)=P(V<=3w)[/mm]
Das vielleicht total logisch aber ich bin leider kein Mathematiker und mein Grundstudium wo wir das gemacht haben is ewig her... Aber wenn Du mal ein Problem in E-Technik hast, helf ich Dir auch gerne ;)..
Hast Du eigentlich in DA studiert? Ich nämlich auch ;)
Liebe Grüße
Jens
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Hallo Jens!
> Nochmals vielen Dank für Deine schnelle Antwort.
> Ich bekomme für [mm]f_V[/mm] folgendes raus:
> [mm]f_V(v)=\left\{\begin{array}{1}
\frac{1}{16}v^2+\frac{3}{8}v+\frac{9}{16}, \hbox{für} -3<=v<-1\\
-\frac{1}{8}v^2+\frac{3}{8}, \hbox{für} -1<=v<1\\
\frac{1}{16}v^2-\frac{3}{8}v+\frac{9}{16}, \hbox{für} 1<=v<3\\
0, \hbox{sonst}
\end{array}
\right.[/mm]
>
> Nach [mm]f_W(w)=f_{V/3}(w)=\int_{-inf}^{w} 3f_V(3w)dw[/mm] folgt:
>
> [mm]f_W(w)=\left\{\begin{array}{1}
\frac{27}{16}(w+1)^2, \hbox{für} -1<=v<-1/3\\
\frac{9}{8}(1-3w), \hbox{für} -1/3<=v<1/3\\
\frac{27}{16}(1-w)^2, \hbox{für} 1/3<=v<1\\
0, \hbox{sonst}
\end{array}
\right.[/mm]
>
> Und das Ergebnis is genau das richtige :) ... Man könnte
Prima!
> noch Zeile 1 und 3 zusammenfassen aber das is Kosmetik.
> Ich versteh nur eine Sache nich bei Deiner Erklärung:
> Wieso kann man einfach die 3 rübermultiplizieren???:
> [mm]P(V/3<=w)=P(V<=3w)[/mm]
Also [mm] $V/3\le [/mm] w$ ist ja nur eine Kurzschreibweise für ein Ereignis, d.h. für eine Teilmenge der Ergebnismenge [mm] $\Omega$. [/mm] Das erkennt man am besten an folgender Schreibweise (Zufallsvariablen sind ja messbare Abbildungen von [mm] $\Omega$ [/mm] nach [mm] $\IR$):
[/mm]
[mm] $\{\omega\in\Omega: V(\omega)/3 \le w\}$.
[/mm]
Achtung - Verwechslungsgefahr mit [mm] $\omega$ [/mm] (omega) und $w$!!! Und dass diese Menge identisch ist mit der folgenden:
[mm] $\{\omega\in\Omega: V(\omega) \le 3w\}$,
[/mm]
ist offensichtlich, oder?
> Das vielleicht total logisch aber ich bin leider kein
> Mathematiker und mein Grundstudium wo wir das gemacht haben
Hm, steht aber doch in Deinem Profil, dass Du gerade im Mathematik-Hauptstudium steckst. Ist das schon Dein 2. Studium?
> is ewig her... Aber wenn Du mal ein Problem in E-Technik
> hast, helf ich Dir auch gerne ;)..
Danke, werde ich mir merken. 
> Hast Du eigentlich in DA studiert? Ich nämlich auch ;)
Ja, bin auch immer noch da (habe promoviert). Vielleicht sehen wir uns ja auf dem Heinerfest ![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
Liebe Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 Sa 02.07.2005 | | Autor: | Jenss |
Hi wieder,
also das mit dem omega umd w hab ich wirklich nich gesehen. Aber jetzt is es mir klar, danke.
Nein, ich studiere nicht mehr. Aber man kann ja nich bei "Mathe-backgraund" angeben, dass man Dipl-Ing is... deshalb Mathe-Hauptstudium, da ich mich für Mathe interessiere.
Auch wenn ich nich mehr in DA wohne, kann es sein, dass wir uns am Heinerfest über den Weg laufen 
Grüße und nochmal vielen Dank...
Jens :)
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